算法导论第三版习题8.1

8.1-1

最小深度为n−1，就像插入排序最好的情况一样，对已经排序好的序列排列的情况。

8.1-2

∑k=1nlgk≤∑k=1nlgn=nlgn

所以，lg(n!)=O(nlgn).

∑k=1nlgk=∑k=1n/2lgk+∑k=n/2+1nlgk≥∑k=n/2+1nlgk≥∑k=n/2+1nlg(n/2)=n2lgn2=n2lgn−n2lg2

所以lg(n!)=Ω(nlgn).
故lg(n!)=Θ(nlgn).

8.1-3

对于给定的m种输入，假设其树高为h，则都有

m≤2h

故都有h≥lgm。当m=n!2时，

h≥lgn!2=Ω(nlgn)

当m=n!n时，

h≥lgn!n=lg(n−1)!=Ω(nlgn)

当m=n!2n时，

h≥lgn!2n=lg(n!)−nlg2

所以都不能再线性时间内达到。

8.1-4

一共有(k!)n/k种排列，和定理8.1的证明一样：

(k!)n/k≤l≤2h

则

h≥lg(k!)n/k=nklg(k!)≥nk⋅k2lgk2=Ω(nlgk)