解析几何：第五章 二次曲线（1）圆 椭圆 双曲线

§1 圆

1. 圆的方程

图形

方程

圆心

半径

1º   标准方程：

  x²+y²=R²

2º   参数方程：

    

3º   极坐标方程：

ρ=R 

G( 0, 0) 

 

 r=R

 

1º   (x-a)² +(y-b)² =R²

2º 参数方程：                

    

 

 

G(a, b)

r=R

 

1º  x²+y²+2mx+2ny+q=0

(m²+n²>q)

 

G(-m,-n)

1º  x²+y²=2Rx

2º  极坐标方程：

ρ=2Rcosφ

 

G(R,0)

r=R

 

1º  x²+y²=2Ry

2º  极坐标方程：

ρ=2Rsinφ

 

G(0,R)

r=R

 

极坐标方程：

ρ² -2ρρ₀cos(φ-φ₀)+ρ₀²=R²

G(ρ₀,φ₀)  

r=R

 

过M₁(x₁, y₁, z₁) , M₂(x₂,y₂, z₂) ,

M₃(x₃, y₃, z₃) 三点的圆方程：

 

 

2. 圆的切线方程

  1º 圆  x²+y²=R² 上一点M(x₀ , y₀) 的切线方程为

             x₀x+y₀y=R²

  2º 圆  x²+y²+2mx+2ny+q=0 上一点M(x₀ , y₀) 的切线方程为

     x₀x+y₀y+m(x+x₀)+n(y+y₀)+q=0

3. 二圆的交角及正交条件

 圆C₁:  x²+y²+2m₁x+2n₁y+q₁=0                   

 圆C₂:  x²+y²+2m₂x+2n₂y+q₂=0                                 

 

两个圆C₁,C₂的交角θ是指它们在交点处两条切线的夹角

由上式可得，圆C₁与C₂正交的条件为：

2m₁m₂+2n₁n₂-q₁-q₂=0

§2  椭圆

1. 椭圆基本参数

如图所示，  

        

• 轴（对称轴）:长轴 AB=2a 

•            短轴 CD=2b (a>b>0)

•  顶点:A,B,C,D

•  中心:G

• 焦点:F₁,F₂

•  焦距:F₁F₂=2c,  

•  离心率：e=c/a<1

•  压缩系数：μ=b/a,μ²=1-e²

• 焦点参数：p=b²/a  (过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即图中F₁H之长)

•  焦点半径：r₁,r₂ (椭圆上一点M(x,y)到两焦点的距离，即图中MF₁,MF₂之长)

•  直径：     PQ     (通过椭圆中心的弦)

• 共轭直径：直径斜率分别为k,k ^',且满足kk ^'=-b²/a²

•  准线：直线l₁和l₂(平行于短轴，到短轴距离为a/e)

2．椭圆的性质

⑴半径之和为常数（等于长轴2a）:r₁+r₂=2a。即椭圆是到两定点(即焦点)的距离之和为常数（长轴）的动点M的轨迹。

⑵如上图，MF₁/ME₁=MF₂/ME₂=e或写为r₁/ME₁=r₂/ME₂=e即椭圆也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线之一)的距离之比为小于1的常数(离心率e)的动点M 的轨迹。

⑶椭圆是将半径为a的圆沿y轴方向按比例μ=b/a (压缩系数)压缩而得到的，即若点M(x,y)在圆x²+y²=a²上，则点M ^'(x,y ^')在椭圆

                                    

上，其中y ^'=μy。

⑷椭圆任一直径把平行于其共轭直径的弦平分，如果两共轭直径的长分别为2a₁和2b₁，它们与长轴的夹角(锐角)分别为α和β，则有

                

                

⑸椭圆上任一点M(x,y)的焦点半径之积(r₁r₂)等于它的对应半共轭直径(图中NO )的平方。

⑹设MM ^'，NN ^'为椭圆的两共轭直径(如上图)，通过M,M ^'分别作直线平行于NN ^'；又通过N,N ^'分别作直线平行于MM ^'，则这四条直线构成的平行四边形面积为一常数4ab。

3．椭圆方程   

图例

方程

顶点，中心，焦点，长半轴，短半轴

 

①标准方程

(a>b>0)

②参数方程

顶点:

A,B(±a,0)

C,D (0,±b)

中心:G(0,0)

焦点:F₁,F₂(±c,0)

       

长半轴:a

短半轴:b

 

①

  (a>b>0)

②参数方程

  

顶点:

A,B(g±a,h)

C,D(g,h±b)

中心:G(g,h)

焦点:

F₁,F₂(g±c,h)

长半轴:a

短半轴:b

 

(a>b>0)

顶点:

A,B (0,±a)

C,D (±b,0)

中心:G(0,0)

焦点:

F₁,F₂(0,±c) ,

长半轴:a；短半轴:b

极坐标方程：

 

 (e<1)

极点为一个焦点(F₁)，极轴为从焦点指向最近的一个顶点

长半轴：

  

短半轴：

焦距：   

  

4．椭圆的切线

设椭圆：

     

椭圆上任一点M(x₀,y₀)的切线MT方程为

    

若切线MT的斜率为k，则切线方程为

    

式中正负号表示直径MM ' 两端点(M和M ')的两切线。

切线MT把点M的两焦点半径(MF₁,MF₂)间的外角(∠F₁MH)平分，即图中α=β，且       

    

而点M的法线NM把内角(∠F₁MF₂)平分。

§3 双曲线

1. 双曲线的基本参数

  

顶点：A,B

中心：G

焦距：

      

（过焦点且垂直于实轴的弦长之半，即图中F1H之长）

（双曲线上一点M(x,y)到两焦点的距离，如图中MF1,MF2之长）

直径：PQ(通过双曲线中心的弦)

共轭直径：=直径斜率分别为k,k^',且满足 

准线：直线L1和L2 (垂直于实轴，到中心的距离为a/e)

渐近线：

2. 双曲线的性质

(1) 焦点半径之差为常数（等于实轴2a)：

               

   即双曲线是到两定点（即焦点）的距离之差为常数（实轴）的动点M的轨迹（使r₁-r₂=2a的点数于双曲线的一支，而使r₂-r₁=2a 的各点属于双曲线的另一支）

(2)如上图，

      

   即双曲线也是到一定点（焦点之一）的距离于到一定直线（准线之一）的距离之比为大于1的常数（离心率e）的动点M的轨迹。

(3)双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分。如果两共轭直径的长分别为2a₁,2b₁,两直径与实轴夹角（锐角）分别为α和β(α<β),则

 

(4)双曲线上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方。

(5)设MM¹,NN¹为双曲线的两共轭直径，通过M,M¹分别作直线平行与NN¹;又通过N, M¹分别作直线平行于MM¹,则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab。

      

3. 双曲线方程  

图形

方程

顶点，中心，

焦点，渐近线

 

1，  标准方程

     

2，参数方程

     

顶点 ：

中心： G(0,0)

焦点:

 

渐近线：

 

(与

成共轭双曲线)

中心：G(0,0)

焦点：

 

顶点：

中心：G(g,h)

焦点：

渐近线：

 

极坐标方程：

 

（极点位于一焦点上，极轴为从焦点背向顶点的射线，此方程得到双曲线的一支，另一支可由双曲线得到）

实轴：

虚轴：

焦距：

 

顶点A,B：

  

中心：G(0,0)

焦 点 ：

轴长：

 

渐近线：x=0,y=0

 

顶点A,B：

中心：

轴长：

渐近线：

4. 双曲线的切线

(1)

      ，

    双曲线上一点M(x₀,y₀)的切线(MT)

        方程为：

                 

    若切线MT的斜率为k，则切线方程为：

          

    式中正负号表示在直径MM¹两端点

    (M和M¹)的两切线。

    切线MT把M点两焦点半径间的内角

    (∠F₁MF₂)平分，即图中

         

   而M点的法线把外角(∠F₁MH)平分。

(2)

两条渐近线之间的切线线段TT₁被切点M

 

  平分(TM=MT1)，且△OTT1的面积（图中的阴影部分）

           

  平行四边形OJMI 的面积（图中的阴影部分）

          

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