算法学习之Floyd-warshall多源最短路问题

一.问题描述

给定一个图，求任意两点间的最短距离

二.输入样例

4 8
1 2 2
1 3 6
1 4 4
2 3 3
3 1 7
3 4 1
4 1 5
4 3 12

三.算法分析

本问题可应用FW算法，下面先不说算法是怎么实现的，先分析一下这个问题怎么解决。

     首先，可以这么想，任意两点之间的最短距离无非就三种情况

     第一种 最短距离就是两点间的直接距离即map[i][j]

     第二种 经过第三点之后最短路径为 i->k->j 距离即是 map[i][k]+map[k][j]

     第三种 经过多个点之后最短路径为 i->k1->k2->k3->....kx->j 距离即是map[i][k1]+map[k1][k2]......+map[kx][j]

在这种思路的引导下我们就要去思考对于任意的i j如何去有序的去经过这三种情况找到最优解，FW算法便是给出了这样一个顺序，在FW算法中这三种情况并不是分离的而是相容的，其实某种程度上来说这就是一种遍历的策略，首先引入k1用map[i][k1]+map[k1][j]和map[i][j]进行比较，取小的那个做为map[i][j]的值，之后再引入k2，再用map[i][k2]+map[k2][j]和map[i][j]进行比较，注意这时候的map[i][j]的值和map[i][k2]+map[k2][j]的值并不简单的是map[i][j] 的原值而可能是经过了k1（当经过k1的距离较短时）的值，map[i][k2]的值也是如此，所以就达到了i->k1->k2->j的效果。

当然我们还可以从动态规划的角度来看这个解决方法，动态规划也是一种解决最短路问题中时常用到的思路，思想可在《数学之美》中有所提及，在这道题中我们将每个点的使用当做阶段，而map[i][j]当做状态，我们要解决的问题就是找到最短的路径使得map[i][j]最小，如果和之前很简单的这种情况来比较，首先我们没有清晰的阶段划分

实现代码

////  main.cpp//  floyd-warshall////  Created by 张嘉韬 on 16/3/14.//  Copyright © 2016年 张嘉韬. All rights reserved.//#include <iostream>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;int const maxn=99999999;int map[50][50];int main(int argc, const char * argv[]) {    freopen("/Users/zhangjiatao/Desktop/input.txt","r",stdin);    int n,m,tempi,tempj,dis;    cin>>n>>m;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)        {            if(i==j)map[i][j]=0;            else map[i][j]=maxn;        }    for(int i=1;i<=m;i++)    {        cin>>tempi>>tempj>>dis;        map[tempi][tempj]=dis;    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=n;j++)        { cout<<map[i][j]<<" ";}        cout<<endl;    }    for(int k=1;k<=n;k++)    {        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=1;j<=n;j++)            {                if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j]) map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];            }        }    }    for(int i=1;i<=10;i++) cout<<"*";    cout<<endl;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=n;j++)        { cout<<map[i][j]<<" ";}        cout<<endl;    }    return 0;}