单源最短路径Dijsktra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

#include<iostream>using namespace std;#define MAXINT 1000#define MAXNUM 10int dist[MAXNUM];int father[MAXNUM];  //依附的父节点typedef int Graph[MAXNUM][MAXNUM];void Dijkstra(Graph G,int v0){bool s[MAXNUM]; //判断该点是否存入s集合中int n = MAXNUM;int sum_dist =0;for(int i =0; i<n ;i++){dist[i] = G[v0][i];s[i] = 0;if(dist[i]==MAXINT)father[i]=-1;elsefather[i]=v0;}dist[v0]=0;s[v0] = 1;for(int i=1; i<n;i++){int mindist = MAXINT;int u = v0;          // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=0;j<n;j++){if(!s[j]&&dist[j]<mindist)  // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 {u = j;mindist = dist[j];}}s[u] = 1;for(int j=0; j<n;j++){if(!s[j]&&G[u][j]< MAXINT){if(dist[u]+G[u][j]<dist[j]){dist[j] = dist[u] + G[u][j];father[j] = u;}}}if(s[u])cout<<u+1<<endl;}}int main(){FILE *fr;int i,j,weight;fr = fopen("prim.txt","r");Graph myG;for(i=0; i< MAXNUM;i++){for(j=0; j< MAXNUM;j++){myG[i][j] = MAXINT;}}if(!fr){cout<<"File open fail"<<endl;exit(1);}while(fscanf(fr,"%d%d%d",&i,&j,&weight)!=EOF){myG[i-1][j-1]= weight;myG[j-1][i-1]= weight;}Dijkstra(myG,0);return 0;}