AC自动机+矩阵快速幂变形 CCF201509-5 最佳文章

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题意： 大概就是告诉你一个字典，字典里字母总个数不超过100，要构造一个长度为m(<=1e15)的串，要含字典中的单词最多，输出最多的数量，可以重叠 

思路：看数据大小，再根据做题的经验，很容易就想到AC自动机来优化状态，再用矩阵快速幂来优化dp，但是这题很特别。

我们先把dp写出来

dp[i][j]=max(dp[i-1][j可能的上一个状态])+End[j]

i是长度，j是在AC自动机中的节点

但是，我们能发现，一般的矩阵快速幂都只能用来完成线性递推，通常是用来解决d[i][j]=A*d[i-1][a1]+B*d[i-2][a2]+...类似的问题

这题缺是来维护最大值。

这里就要讲到了矩阵乘法的变形了。之所以矩阵乘法是可行的是因为乘法的结合律，但是加法和max()同样有结合律

我们再回顾一下矩阵快速幂的另外一道经典题，告诉你一个有向图，可能有重边，告诉你起点和终点，要你恰好k步从起点走到终点，有多少种方法。

最后，我们的dp是这样写的

dp[i][j]=sigma(dp[i][k]*dp[k][j])

我们都知道，这个题的答案就只要拿邻接矩阵求幂，然后把第0列的数字加起来就行了。

我们如果把sigma改成max，把乘号改成加号，那么就和这道题的方程完全一样了。

实际上，这种做法是可行的！

对于这道题，我们只需要对矩阵乘法的定义稍作修改，就能用来优化取最大值的dp了！

这种dp是很常见的，有了这种矩阵快速幂的方法，又为我们加速dp优化打开了一个新世界的大门。

#include <map>#include <set>#include <cmath>#include <ctime>#include <Stack>#include <queue>#include <cstdio>#include <cctype>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <functional>#define fuck(x) cout << "[" << x << "]"#define FIN freopen("input.txt", "r", stdin)#define FOUT freopen("output.txt", "w+", stdout)using namespace std;typedef long long LL;typedef pair<int, int> PII;typedef vector<LL> vec;typedef vector<vec> mat;const int MX = 1e4 + 5;const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;int rear, root;int Next[MX][26], Fail[MX], End[MX];int New() {    rear++;    End[rear] = 0;    for(int i = 0; i < 26; i++) {        Next[rear][i] = -1;    }    return rear;}void Init() {    rear = 0;    root = New();}void Add(char *A) {    int n = strlen(A), now = root;    for(int i = 0; i < n; i++) {        int id = A[i] - 'a';        if(Next[now][id] == -1) {            Next[now][id] = New();        }        now = Next[now][id];    }    End[now]++;}void mat_fill(mat &A, LL val) {    for(int i = 0; i < A.size(); i++) {        for(int j = 0; j < A[0].size(); j++) {            A[i][j] = val;        }    }}mat Build() {    queue<int>Q;    Fail[root] = root;    for(int i = 0; i < 26; i++) {        if(Next[root][i] == -1) {            Next[root][i] = root;        } else {            Fail[Next[root][i]] = root;            Q.push(Next[root][i]);        }    }    while(!Q.empty()) {        int u = Q.front(); Q.pop();        End[u] += End[Fail[u]];        for(int i = 0; i < 26; i++) {            if(Next[u][i] == -1) {                Next[u][i] = Next[Fail[u]][i];            } else {                Fail[Next[u][i]] = Next[Fail[u]][i];                Q.push(Next[u][i]);            }        }    }    mat A(rear, vec(rear));    mat_fill(A, -INF);    for(int i = 1; i <= rear; i++) {        for(int j = 0; j < 26; j++) {            int chd = Next[i][j];            A[chd - 1][i - 1] = End[chd];        }    }    return A;}mat mat_mul(mat &A, mat &B) {    mat C(A.size(), vec(B[0].size()));    mat_fill(C, -INF);    for(int i = 0; i < A.size(); i++) {        for(int j = 0; j < B[0].size(); j++) {            for(int k = 0; k < B.size(); k++) {                if(A[i][k] + B[k][j] >= 0) {                    C[i][j] = max(C[i][j], A[i][k] + B[k][j]);                }            }        }    }    return C;}mat mat_pow(mat A, LL n) {    mat B = A; n--;    while(n) {        if(n & 1) B = mat_mul(B, A);        A = mat_mul(A, A);        n >>= 1;    }    return B;}void print(mat &A) {    for(int i = 0; i < A.size(); i++) {        for(int j = 0; j < A[0].size(); j++) {            fuck(A[i][j]);        } printf("\n");    }}char S[MX];int main() {    int n; LL m; //FIN;    scanf("%d%lld", &n, &m);    Init();    for(int i = 1; i <= n; i++) {        scanf("%s", S);        Add(S);    }    mat A = Build();    A = mat_pow(A, m);    LL ans = 0;    for(int i = 0; i < rear; i++) {        ans = max(ans, A[i][0]);    }    printf("%lld\n", ans);    return 0;}