线性筛法求素数

普通筛法

先讲一下普通的筛法。筛法，顾名思义，就是筛掉合数，剩下的就是素数了。
我们知道，合数一定可以分解为两个或以上的素数，所以我们只需要对于每一个素数i，枚举一个大于2的数j，将i∗j（此为某个合数）筛掉。如果i是合数，那一定会被它的一个质因数乘上某个数而被筛掉，反之，它将不会被筛掉。

Code(pascal) normal

    for i:=2 to n do    if bz[i] then  //如果此数没有被小于它的质数乘上某个数所筛掉，说明它是质数    for j:=2 to n div i do  //枚举i的乘数j    bz[i*j]:=false;  //筛掉此数

这个算法的时间复杂度是n2的，我们看一下能不能优化一下。
我们可以发现，对于一个大于√n的质数，我们可以发现用此数来筛是没有意义的。
我们设这个数为y,则j一定小于y（因为y>√n,j最大为n/y,所以j<√n<y)
设j=P1∗P2∗P3∗...∗Pn(Pi均为质数)，因为j<y，所以Pi<y，所以j∗y=Pi∗u(某个数)

综上所述，当i=Pi(Pi<y)时，j∗y（y>√n）这个合数被Pi∗u筛掉了，所以只需循环到√n，且当j<i时，筛i∗j没有意义（i∗j已经被筛），所以i只需循环到√n，且枚举j时，可以从i开始枚举。

Code(pascal) optimization

    for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do    if bz[i] then  //判断质数    for j:=i to n div i do  //枚举i的乘数j（j≥i）    bz[i*j]:=false;  //筛数

线性筛法

现在开始讲主角了，先看看代码。

Code(pascal) linear

for i:=1 to n dobegin    if bz[i]=false then  //i为素数则bz[i]=false,为合数则bz[i]=true    begin        inc(o);        s[o]:=i;  //s为素数数组    end;    for j:=1 to o do    begin         bz[i*s[j]]:=true;        if (i mod s[j]=0) or (i*s[j]>n) then break;  //难点？？？重点！！！超强优化！？！？！？       end;end;

重点在于为什么i mod s[j]就不需要筛了？
事实上我们这样每个合数只会被筛一遍。
接下来我们需要证明两个东西：
1、质数一定不会被筛。
2、合数一定会被筛，且只会被筛一次。
我们知道质数只有一个质因数，因此，所以不会被两个大于1的数的乘积所筛。
对于合数，我们设合数K=P1∗P2∗P3∗...∗Pm−1∗Pm（Pw≤Pw+1）
所以使得循环break掉的素数就是P1，所以比P1大的质数（设其为U），不会在此时把（i∗U）筛掉，但是（i∗U）一定会被筛掉.
(i∗U)=P1∗P2∗P3∗...∗Pm−1∗Pm∗U(U>P1)
=U∗P2∗P3∗...∗Pm−1∗Pm∗P1
=i′∗P1(i′>i)
又因为i′没有比P1要小的质因数，所以当i=i′,一定会枚举到P1此素数将P1∗i′（i∗U）筛掉。
通过上面我们可以知道，每个合数只会被自己最小的质因数乘上某数筛掉，因此只会被筛一次且一定被筛，所以时间复杂度就降至了O(n)。