二维有序矩阵的查找

A. 问题描述

在一个二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。

B. 问题分析

其实笨方法有很多种啦：
* 全部无脑遍历一次，时间复杂度为O(NM）
* 对每行/列做二分查找，时间复杂度为O(Nlog M）
* 好像还不够好，可以整体用二分吗？

我们来看一个性质，对于一个N*M的如题所述的矩阵A，如果存在某个值等于要找的target值，看A的最右上角的元素key = A[0][M-1]，从这个位置每步向左走或向下走，必定存在一条路径到达target。

所以关键是如何走出这样一条路径出来？

其实需要先对矩阵的性质有一个了解。如下图所示，注意区域2只有一个元素，就是当前矩阵的右上角的位置，很明显，区域1的所有值都是不大于key（即区域2的值），而区域4的所有值都是不小于key的，区域3的元素的值与key暂时没有明确的关系。

不过上面的性质已经足够加快很多了！！！
1. 如果target = key，那么就找到咯！
2. 比如发现target > key，那么明显区域1和2都没必要继续搜索了，对不对？现在需要搜索的矩阵变成了区域3和区域4组成的新的子矩阵了！！！
3. 反之，如果target < key，那么也很明显，区域2和区域4就没必要搜索了，接下来只需要搜索区域1和区域3组成的子矩阵即可！

所以，总的来说，这个算法的复杂度为O(N + M)，应该能够很容易分析出来吧？

C. 代码实现

class Solution {public:    bool Find(vector<vector<int> >& array, int target) {        if (array.empty())            return false;        int rowSize = array.size(), colSize = array[0].size();        int x = 0, y = colSize - 1;        while (check(0, rowSize, x) && check(0, colSize, y)) {            if (target == array[x][y])                return true;            else if (target < array[x][y])                --y;            else                ++x;        }        return false;    }    bool check(int lower, int upper, int now) {        return now >= lower && now < upper;    }};

D. 还有更快的算法吗？

应该是有的，不过有点复杂，思路是——在对角线上做二分查找，然后递归下去，这样的话，分治收敛得更快，有兴趣的可以实现出来交流一下，我等下次回来再实现。【未完待续】

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参考：July的《编程之法》4.2节