20160326】十分基础的数论，顺手把球缺体积公式扔这儿

球缺体积公式：π/3*(3r-h)*r^2

毕竟下午要滚走不考试 干脆中午就直接把笔记码了【顺便这电脑的NM键灵敏度我给满分

讲了线性筛，费马小，欧拉函数还有扩展共产党【大雾】扩展欧几里得

之前也就费马小定理和欧拉函数没怎么用过于是认真听了【

于是顺手把要一边加减乘除一边取模的运算方法扔上来

加和乘直接一边算一边取，如果要减的话注意可能会有负数，于是没事就+m再%m

至于除法……长的有点丑陋啊【哭着：要不我们直接求逆元？【似乎也不是不行来着】】

(a/b)%m=(a%(b*m))/b

虽然证明过然而就是记不住公式的某Flaze【摊手【【其实某种意义上这个公式也长得挺优美x

证明啥的……设a/b=km+f

∴a=kbm+fb

∴a%(b*m)=fb

于是就显然了orzorz

哦对 对于要爆精度又懒得写高精乘的东西，就可以用和快速幂同理的快速乘【虽然我觉得还是直接压一位比较优美的说【摊手

①费马小定理

费马小定理的证明也不是辣么难吧……（终于听懂了的莫感动得T地一声哭了出来

(当p为质数且a和p互质

 a^(p-1)≡1 (mod p)                 

证明：

设有数列 {a%p, (2*a)%p, (3*a)%p... ((p-1)*a)%p}

∵ p为质数  ∴所有 i ∈[1, p-1] 都与p互质

∴  这个数列的值域为 [1, p-1]

设存在  (i*a)%p==(j*a)%p

则有 a*(i-j)%p==0

又 a%p!=0

∴(i - j)%p==0

又有 i,j ∈[1, p-1]

∴ i==j

∴a%p, (2*a)%p, (3*a)%p... ((p-1)*a)%p 的取值两两不等，即分别为1~p-1

于是把她们全部乘起来【不要问为什么是“她”

得到

a^(p-1)*((p-1)!)≡(p-1)!     (mod p)

再稍微约一下分，就是费马小定理了

顺手就可以再搞定逆元了

即，当a, p互质 在p的同余系下，有a的逆元=a^(p-2)

然而当a, p不互质，逆元什么的啊……一颗赛艇

哦对对对，费马小定理并不能用来证明p是素数【比如a=3 p=4的时候仍然满足上面那个式子但是4简直是质数咯【摊手

②欧拉定理

φ(p): 小于等于p且与p互质的正整数的个数。对于质数p显然有φ(p)=p-1; 于是假装费马小定理是欧拉定理的特殊情况。

而对于一个数b=p^k, 假装可以很简单地证明 φ(b)=p^k-p^(k-1)   【因为，与b不互质的数只有p的倍数，然后脑补一下就是这样了

于是，就有了

φ(b)=p^k-p^(k-1) (b=p^k, p is a prime)

然后老师用表情包证明(个ball)了欧拉函数是积性的【摊手

于是就有了当有任意整数n可以被分解为m个不同质数的（某次方）的积↓

n=p1^k1 * p2^l2 * p3^k3 * ... * pm^km;

则有， φ(n)=φ(p1^k1) * φ(p2^k2) * ... * φ(pm^km) 

然后假装我们就证明了欧拉定理【感性理解一下x

a^φ(n)≡1 (mod n)

然后欧拉函数的某性质，感性证明一下

最后…………呃，关于扩展共产党【大雾】 ex_gcd的公式啊…………蒟蒻Flaze表示并背不了x【好吧其实背下来了【假装一下

x=y' ,  y=x' - (a/b) * y' ;

③解线性同余方程组

关于线性同余方程组啊……两个两个地搞♂呗x

x ≡ d1 mod m1

x ≡ d2 mod m2

x........

x ≡ dn mod mn

设 x=k1m1+d1, x=k2m2+d2

两式合并↓

k1m1+d1=k2m2+d2 即k1m1-k2m2=d2-d1

这不是很眼熟了嘛，用扩展欧几里得胡♂搞♂乱♂搞吧

于是求出k1之后，dx=k1m1+d1  mx=lcm(m1,m2)

于是两个就合并成了 x=dx mod mx 【证明我才不码了QuQ

最后………………数论的笔记简直码得我想…………恩……………………诶下节体育课 打排去了债见wwww