bzoj 1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

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Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值)  这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

Source

题解：首先需要构造出最小生成树（kruskal）算法。然后从不是最小生成树的边中选出一条，如果把这条边加入树中，那么在树中必然形成了一个环，用lca 可以确定出有这条边的两个顶点构成的树链，然后求一下树链的最大值和次大值（在建树的时候用倍增预处理出最大值和次大值）

因为是严格的次小生成树，所以如果新加的边的权值等于删去的边的权值是不合法的，所以我们维护最大值和次大值

当当前边的边权与树链中的最大值相等时，我们用次大值来更新最小增量。那么有没有可能树链中的最大值大于当前边的边权呢？其实不必担心因为这是不可能的，在构建最小生成树时是按权值排序的，如果当前边的边权小于树链中的最大值的话，那么建树时一定会选用当前边，所以我们要求次小生成树，其实就是求最小增量，而这种方式用心感受一下，还是很科学的。

当然这道题貌似也可以用线段树+链剖来做，有想法的可以尝试（貌似代码巨长）

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define N 100003using namespace std;int n,m;struct data{ int x,y,v,pd;};data a[3*N];int father[N],tot,mn;int next[N*2],point[N],v[2*N],c[2*N],deep[N];int fa[N][20],maxn[N][20],mx[N][20],mi[20];long long ans=0;int cmp(data x,data y){ return x.v<y.v;}void add(int x,int y,int k){ tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; c[tot]=k; tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; c[tot]=k;}int find(int x){ if (father[x]==x) return x; father[x]=find(father[x]); return father[x];}void dfs(int x,int f,int depth){ deep[x]=depth; for (int i=1;i<=17;i++) {  if (deep[x]-mi[i]<0) break;  fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];  maxn[x][i]=max(maxn[x][i-1],maxn[fa[x][i-1]][i-1]);  if (maxn[x][i-1]==maxn[fa[x][i-1]][i-1])   mx[x][i]=max(mx[x][i-1],mx[fa[x][i-1]][i-1]);  else  {   int t=min(maxn[x][i-1],maxn[fa[x][i-1]][i-1]);   t=max(t,mx[x][i-1]); t=max(t,mx[fa[x][i-1]][i-1]);   mx[x][i]=t;  } } for (int i=point[x];i;i=next[i]) if (v[i]!=f) {  fa[v[i]][0]=x;  maxn[v[i]][0]=c[i];  mx[v[i]][0]=-1;  dfs(v[i],x,depth+1); }}int lca(int x,int y){ if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y); int k=deep[x]-deep[y]; for (int i=0;i<=17;i++) if (k>>i&1) x=fa[x][i]; if (x==y) return x; for (int i=17;i>=0;i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0];}void solve(int x,int f,int v){ int k=deep[x]-deep[f]; int p1=0,p2=0; for (int i=0;i<=17;i++)  if (k>>i&1)  {   p2=max(p2,mx[x][i]);   if (maxn[x][i]>p1)   {    p2=max(p2,p1);    p1=maxn[x][i];    }  } if (p1==v) mn=min(mn,v-p2); else mn=min(mn,v-p1);}int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for (int i=1;i<=m;i++)  scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].v); sort(a+1,a+m+1,cmp); for (int i=1;i<=n;i++) father[i]=i; int num=0; mi[0]=1; for (int i=1;i<=17;i++) mi[i]=mi[i-1]*2; for (int i=1;i<=m;i++) {  int r1=find(a[i].x); int r2=find(a[i].y);  if (r1!=r2)  {   father[r2]=r1;   ans+=(long long)a[i].v;   a[i].pd=1;   add(a[i].x,a[i].y,a[i].v);   num++;  }  if (num==n-1) break; } dfs(1,0,1); mn=1e9; for (int i=1;i<=m;i++) if (!a[i].pd) {  int t=lca(a[i].x,a[i].y);  solve(a[i].x,t,a[i].v);  solve(a[i].y,t,a[i].v); } ans+=(long long)mn; printf("%lld\n",ans);}