算法 - 斐波那契数列

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　　斐波那契数列中每个数都是其两个直接前项的和，其生成规则如下所示：

Fn=⎧⎩⎨Fn−1+Fn−210如果n>1如果n=1如果n=0

.

指数算法

　　要求斐波那契数列的第n项值一种简单的方法就是使用递归

function fib(n)
if n=0: return 0;
if n=1: return 1;
return fib(n-1)+fib(n-2);

　　但是使用递归来计算第n项，它消耗的资源是指数级增长的。如下图所示,一个fib(n)会触发一连串的递归操作，而这些操作中有很多步骤是重复的。因此，这个算法虽然正确，但是效率太低。

多项式算法

　　递归的方法对资源的消耗太大，更合理的方法是使用循环来完成，随时保存中间结果。

function fib(n)
if n=0: return 0;
create an array f[0…n]
f[0]=0,f[1]=1
for i=2…n:
　f[i]=f[i-1]+f[i-2]
return f[n]

矩阵算法

　　首先，对于数列的初始条件对应以下的矩阵运算

(F1F2)=(0111).(F0F1)

　　更一般化地，有

(FnFn+1)=(0111).(Fn−2Fn−1)

　　所以，可以得到：

(FnFn+1)=(0111)n.(F0F1)

　　综上所述，要的出斐波那契数列的第n项，实际上就是对一个二维矩阵求n次幂。采用矩阵的快速幂算法，操作次数优化为O(log n)。

以下为java实现的三种计算斐波那契数列第n项算法：

import java.util.Scanner;public class Fibonacci {    public static void main(String argv[]) {        // 输入        System.out.print("请输入一个整数:");        Scanner x = new Scanner(System.in);        int n = x.nextInt();        // 运算        Fibonacci fib = new Fibonacci();        long fibn = fib.fib3(n);        // 结果显示        System.out.println("fib(n)=" + fibn);    }    /**     * 指数算法 n大于40延时就明显了     * @param n     * @return     */    public long fib1(int n) {        if (n == 0) {            return 0;        }        if (n == 1) {            return 1;        }        return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);    }    /**     * 多项式算法 由于long的范围限制，结果在n属于[0,92]正确。     * 当n为8个9时有明显延迟(已溢出)     * @param n     * @return     */    public long fib2(int n) {        if (n == 0)            return 0;        long[] f = new long[n + 1];        f[0] = 0;        f[1] = 1;        for (int i = 2; i <= n; i++) {            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];        }        return f[n];    }    /**     * 矩阵算法 n在[0,92]内结果正确     * 当n为9个9时仍然无明显延迟(已溢出)     * @param n     * @return     */    public long fib3(int n) {        Matrix2 m=new Matrix2(0,1,1,1);        m=m.fastPower(n);        return m.getMatrix()[0][1];    }}/** * 二维矩阵类 * 功能实现：矩阵乘法；快速求幂； * @author Moilk * */class Matrix2 {    private long[][] pmatrix;    public Matrix2() {        pmatrix = new long[2][2];    }    public Matrix2(long a, long b, long c, long d) {        setMatrix(new long[][] { { a, b }, { c, d } });    }    /**     * 快速幂     * @param n 幂     * @return 运算结果     */    public Matrix2 fastPower(int n){        Matrix2 result=new Matrix2(1,0,1,0);    //初始化为单位矩阵        Matrix2 tmp=this;        while(n!=0){            if((n&1)==1){                result=multi(result,tmp);            }            tmp=multi(tmp,tmp);            n>>=1;        }        return result;    }    /**     * 矩阵乘法     * @param m1 矩阵1     * @param m2 矩阵2     * @return 乘积     */    public Matrix2 multi(Matrix2 m1,Matrix2 m2) {        Matrix2 tmp = new Matrix2();        tmp.getMatrix()[0][0] = m1.getMatrix()[0][0] * m2.getMatrix()[0][0] + m1.getMatrix()[0][1] * m2.getMatrix()[1][0];        tmp.getMatrix()[0][1] = m1.getMatrix()[0][0] * m2.getMatrix()[0][1] + m1.getMatrix()[0][1] * m2.getMatrix()[1][1];        tmp.getMatrix()[1][0] = m1.getMatrix()[1][0] * m2.getMatrix()[0][0] + m1.getMatrix()[1][1] * m2.getMatrix()[1][0];        tmp.getMatrix()[1][1] = m1.getMatrix()[1][0] * m2.getMatrix()[0][1] + m1.getMatrix()[1][1] * m2.getMatrix()[1][1];        return tmp;    }    public long[][] getMatrix() {        return pmatrix;    }    public void setMatrix(long[][] pmatrix) {        this.pmatrix = pmatrix;    }}