实对称矩阵的若干性质与详细证明

花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了，定理很简单，证明起来却十分之费事，用的都是十分基础而经典的证明手段，这破编辑器还不能写公式，直接截图了。

<性质1> 所有特征值都为实数。

某百科里还认为所有特征向量都是实特征向量，这是不对的，简单的例子就是A是一阶方阵的时候，, x可取任何复数。

<性质2> 不同特征值对应的特征向量互相正交。

<性质3> 设A是实对称矩阵，存在正交对称阵U和对角阵W使得U’AU=W，其中W对角线的元素是A的特征值，而U的列向量是A的特征向量。

<性质4> k重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k个。

该定理在网上有很多看起来简单的证明，然而并不正确，教材中认为它的证明需要超纲的知识，略去证明。其实利用性质3的结论可以给出比较基础的证明。