杨辉三角形//第八届北京师范大学程序设计竞赛决赛

来源：互联网发布：怎么复制淘宝主图图片编辑：程序博客网时间：2024/04/28 04:13

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杨辉三角形

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64-bit integer IO format: %lld Java class name: Main

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None

LZM同学比较牛，Lsy最近也越来越生猛，他们思路快，代码速度神勇。近期惊闻此二人均要参加校赛，队里决定出些题目卡他们，因为他们的罢工给题目组留下了繁重的负担……（报复报复）

于是，XsugarX瞄准了LZM不太喜欢看的数学题目以及Lsy猜公式的喜好，奸笑中（^.^）。这个数学问题是个比较古老的问题，有如下图的三角形被称为杨辉三角形：

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

我们记第一个1为第0行，往下依次编号。

其中三角形左右两斜边上的数字均为1，其他位置均为其两肩上的数之和。

此两牛看到偶数就会觉得复杂，被卡的时间与偶数的个数成正比，XsugarX希望能卡他们的时间越久越好。

给定任意杨辉三角的行数n，请输出杨辉三角中前n行中总共有多少偶数。

Input

一个数n（0<=n<=3,000,000）。表示求杨辉三角前n行中偶数的个数。

Output

一个数R。表示在杨辉三角前n行中共有R个偶数，由于结果可能会很大，请输出R mod 10,000,000的结果。

Sample Input

Sample Output

Source

第八届北京师范大学程序设计竞赛决赛

Author

XsugarX

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题解：杨辉三角形分形题目，求杨辉三角形前 n 行的偶数个数。原型是基于一个定理：杨辉三角形的第 n 行中奇数个数等于 2k 个，k 为 n 表示为二进制时 1 的个数。因此，对于 n<=3000000 的数据范围，可以线性的进行一次扫描，累和打表。由于统计二进制位，复杂度 O(N)中的 N 会包含一小常数 C，C 为数字的长度。大多数都是用分形来解决的，当然这也是个很自然的想法，效率会稍微低一点。另 VIJOS 上有题目的加强版，题目数据 n<=10^50，需要根据上面的定理推倒公式，然后快速幂+高精解决。

附代码

方法1：

#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10000000int a[3000001]={0};int gs(int n){    int k=0;    while(n)        {            n=n&(n-1);            k++;        }        return k;}void jg(int n){    int k;        a[2]=1;    a[3]=0;    for(int i=4;i<=n;i++)    {        a[i]=i+1-pow(2,gs(i));      // printf("%d ",a[i]);    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        a[i]=(a[i-1]+a[i])%N;    }}int main(){    int n;    scanf("%d",&n);    jg(n);    printf("%d\n",a[n]%N);}

方法2：

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; const int MOD=10000000; int dp[3000010]; int sum[3000010]; void pp(){    dp[0]=0;    dp[1]=0;    dp[2]=0;    dp[3]=1;    dp[4]=0;    int x=4;    int i;   for( i=5;i<=3000001;i++)    {    dp[i]=dp[i-x]*2+i-(i-x)*2;//每一行的规律           dp[i]=dp[i]%MOD;            if(i==x*2)                x=x*2;    }    sum[0]=0;    for(i=0;i<=3000000;i++)//加和        sum[i]=(dp[i+1]+sum[i-1])%MOD;}int main(){pp();    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        printf("%d\n",sum[n]);    }}

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杨辉三角形//第八届北京师范大学程序设计竞赛决赛