ACM总结——最长公共子序列 & 最长不减(不增)子序列

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ACM总结——最长公共子序列 & 最长不减(不增)子序列

两个经典DP
一、最长公共子序列(Longest Common Subsequence:LCS)

设有两个序列A[1...m]和B[1...n],分别对A和B进行划分子序列
A[1] A[1..2] A[1..3] ... A[1..m]
B[1] B[1..2] B[1..3] ... B[1..n]
依次求出A中的每个子序列(从A[1]开始)与B中每个子序列的最长公共子序列，并记录在数组C[m][n]中，C[i][j]表示A[1..i]和B[1..j]的最长公共子序列的长度。

递推公式如下：
①C[i][j]=0 i=0 or j=0
②C[i][j]=C[i-1][j-1]+1 i!=0 and j!=0 and A[i]=B[j]
③C[i][j]=max{C[i-1][j],C[i][j-1]} i!=0 and j!=0 and A[i] != B[j]

路径记录：
记录路径即记录C[i][j]是怎么得来的，从递推公式②③知，C[i][j]的来源有三个：C[i-1][j-1],C[i-1][j],C[i][j-1]。如果是从C[i-1][j-1]得来，那么A[i]=B[j],是最长公共子序列中的一个元素。
可以设置一个数组P[m][n]来记录当前的C[i][j]是怎么得来的，P[m][n]的取值只能有三种,分别记为1 2 3。

构造最长公共子序列：
用递归的方法，检查P[i][j]，初始i=m,j=n
如果p[i][j]=1，则记录C[i][j],然后递归处理P[i-1][j-1]
如果P[i][j]=2,不记录，递归处理P[i-1][j]
如果P[i][j]=3,不记录，递推处理P[i][j-1]
直到i=0 or j=0

时间复杂度：O(mn)


二、最长不减(不增)子序列(Longest Order Subsequence)

序列：A[1..n]

方法1：
可以转化为最长公共子序列问题，把序列排序后与原序列找最长公共子序列即可。排序O(nlogn),求最长公共子序列O(n^2)，所以时间复杂度为O(n^2)

方法2:
类似上面的方法划分子序列
A[1] A[1..2] A[1..3] ... A[1..n]
依次对每一个序列求最长不减子序列，求后面的会用到前面的结果。用C[1..n]记录求的的长度,即C[i]为A[1..i]最长不减子序列的长度

递推公式：
①C[i]=1 i=1;
②C[i]=max{C[j] | j<i and A[j]<=A[i]}+1 i>1

时间复杂度：
求C[i],需要遍历C[1]...C[i-1]，找出最大值(对应的A[j]必须小于等于A[i])，所以时间复杂度为O(n^2)

方法3:
对方法2进行优化,方法2中求C[i]时需要遍历C[1]...C[i-1]，这个遍历可以进行优化。
引入一个数组g[n],g[i]表示子序列长度为i时，序列最后一个元素的最小值，初始时，g[n]赋值无穷大，很容易看出，随着子序列长度的增加(即g的下标的增加)，序列最后一个元素值必定不会减小(即数组g中的值)，所以数组g[n]是单调不减的。
C[i]即等于g[n]中的第一个大于A[i]的元素的下标index，然后用A[i]替换数组g[n]中的这个元素，来更新数组g[n],因为A[i]是序列长度为index的的序列中更小的末元素。
因为g[n]是有序的，所以可以用二分搜索来查找。

这个二分写的很郁闷，怪不得有句话叫做90％程序员写不出无BUG的二分查找程序，这个二分要找出第一个大于某个值的下标，应该把各种情况的二分好好整理一下。

时间复杂度:O(nlogn)

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题解：http://blog.csdn.net/sinat_19628145/article/details/51161028