SPOJ 5971 LCM SUM

写完这题，就可以去写 Light OJ 1375了

题意：

求

∑i=1i=n LCM(i,n)

1≤T≤300000 1≤n≤106

思路：

LCM(i,n)=i∗ngcd(i,n)

令 g=gcd(i,n), 得到：

lcm(i,n)=ig∗ng∗g

我们可以枚举 g=gcd(i,n) 的值，显然这个值一定是 n 的约数，那么现在开始算 n∗ig，对于这个 g 值下进行求和，又因为 i 满足条件 g=gcd(i,n)， 所以明显所有的 ig 与 ng 互质，然后进行求和的时候就可以用到一个结论：
对于 2≤n， 不大于n且与n互质的整数的和为 n∗phi(n)2，那么我们要求的和值就是等于 n∗n/g∗phi(n/g)2， 所以

ans=n+n∗∑d|n,d!=n n/d∗phi(n/d)2=n+n∗∑d|n,d!=1 d∗phi(d)2

注意，这里要特殊处理一下 g=n 哦！

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <iostream>#define PB push_back#define FT first#define SD second#define MP make_pair#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef pair<int,int>  P;const int N = 5 + 1e6, MOD = 7+1e9;LL ans[N], phi[N];bool flag[N];int prime[N/3];int p[10000];void init()  {      int i, j, k;        k = 0;      for(i = 2;i < N;++ i) {          if(!flag[i]) {                                          prime[k++] = i;              phi[i] = i-1;          }          for(j = 0;j < k && i * prime[j] < N;++ j){              flag[i * prime[j]] = true;                          if(i % prime[j] == 0) {                  phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];                  break;              }              else  phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);          }    }     for (int i = 1; i < N ; ++ i) {          for(int j = i;j < N;j += i) {            ans[j] += 1LL* i * phi[i] /2;         }    }}int main(){    init();    int T;    scanf("%d",&T);    while(T --) {        int n;        scanf("%d",&n);        printf("%lld\n",(ans[n] + 1) * n);    }    return 0;}