Floyd最小环求最短路

1 定义:

通常来说最小环是针对有向图而言

从一个点出发,经过一条简单路径回到起点成为环.图的最小环就是所有环中长度最小的.

2.怎样求最小环呢?

1传统的解决方法(dijkstra):
        任意一个环的权值，我们都可以看成两个有边相连的结点i、j的直接距离加上i、j间不包含边(边i->j)的最短路径。求最短路径我们第一个想到的就是Dijkstra算法。而Dijkstra所求的是一个点到所有点的最短距离。用Dijkstra所求的i、j的最短距离一定是i、j的直接距离(如果i，j连通)，所以我们需要先将i、j的边从图中删除(若i，j不连通，则不用删除)，再用Dijkstra求新图中i、j的最短距离即可。所以我们每次在图中选取一条边，把它从图中删掉．然后对删掉的那条边所对应的2点进行Dijkstra，也就是m次Dijkstra。

2.floyd求最小环:

        抛开Dijkstra算法，进而我们想到用Floyd算法。我们知道，Floyd算法在进行时会不断更新矩阵dist(k)。设dist[k，i，j]表示从结点i到结点j且满足所有中间结点，它们均属于集合{1，2，⋯ ，k}的一条最短路径的权。其中dist[0，i,j ]即为初始状态i到j的直接距离。对于一个给定的赋权有向图， 求出其中权值和最小的一个环。我们可以将任意一个环化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u与k、k与v都是直接相连的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不经过k的一种路径。

        在u，k，v确定的情况下，要使环权值最小， 则要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路径权值最小．即要求其为v到u不经过k的最短路径，则这个经过u，k，v的环的最短路径就是：[v到u不包含k的最短距离]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我们用Floyd只能求出任意2点间满足中间结点均属于集合{1，2，⋯ ，k}的最短路径，可是我们如何求出v到u不包含k的最短距离呢?
         现在我们给k加一个限制条件：k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点，所以当前环中没有任何一个点≥k，即所有点都<k。因为v->(x1->x2->......xm)->u属于当前环，所以x1，x2，⋯ ，xm<k，即x1，x2．⋯。xm≤k一1。这样，v到u的最短距离就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是从v到u且满足所有中间结点均属于集合{1，2，⋯ ，k一1}的一条最短路径的权。接下来，我们就可以求出v到u不包含k的最短距离了。这里只是要求不包含k，而上述方法用的是dist[k一1，v，u]，求出的路径永远不会包含k+l，k+2，⋯ 。万一所求的最小环中包含k+1，k+2，⋯ 怎么办呢?的确，如果最小环中包含比k大的节点，在当前u,k,v所求出的环显然不是那个最小环。然而我们知道，这个最小环中必定有一个最大点kO，也就是说，虽然当前k没有求出我们所需要的最小环，但是当我们从k做到kO的时候，这个环上的所有点都小于kO了．也就是说在k=kO时一定能求出这个最小环。我们用一个实例来说明：假设最小环为1—3—4—5—6—2—1。的确，在u=l，v=4，k=3时，k<6，dist[3，4，1]的确求出的不是4—5—6—2—1这个环，但是，当u=4，v=6，k=5或u=5，v=2，k=6时，dist[k，v，u]表示的都是这条最短路径.所以我们在Floyd以后，只要枚举u．v，k三个变量即可求出最小环。时间复杂度为O(n3)。我们可以发现，Floyd和最后枚举u，v,k三个变量求最小环的过程都是u,v,k三个变量，所以我们可以将其合并。这样，我们在k变量变化的同时，也就是进行Floyd算法的同时，寻找最大点为k的最小环。

Floyd求两点间最短路

//Floyd-Warshall算法核心语句   for(k=1;k<=n;k++)   for(i=1;i<=n;i++)   for(j=1;j<=n;j++)       if(e[i][k]<inf && e[k][j]<inf && e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])       e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]; 

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2090

用Floyd求最小环，记录次数的时候判断是否和最小的时候相同就行了。

#include<stdio.h>#include<string.h>#define M 107#define inf 0x3f3f3fusing namespace std;int g[M][M],dis[M][M],path[M][M],pre[M];int n,m,num,mincircle,count;void init(){    for(int i=1; i<=n; i++)    {        for(int j=1; j<=n; j++)        {            g[i][j]=dis[i][j]=inf;        }        g[i][i]=dis[i][i]=0;    }}void dfs(int i,int j){    int k=path[i][j];    if(k==0)    {        pre[num++]=j;        return ;    }    dfs(i,k);    dfs(k,j);}void Floyd(){    mincircle=inf;    for(int k=1; k<=n; k++)    {        for(int i=1; i<k; i++)//求环            for(int j=i+1; j<k; j++)            {                if(mincircle>dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j])                {                    mincircle=dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j];                    num=0;                    pre[num++]=i;                    dfs(i,j);                    pre[num++]=k;                    count=1;                }                else if(mincircle==dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j])//记录次数                    count++;            }        for(int i=1; i<=n; i++)//求最短路            for(int j=1; j<=n; j++)                if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])                {                    dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];                    path[i][j]=k;                }    }}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        init();        int a,b,c;        for(int i=1; i<=m; i++)        {            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);            if(g[a][b]>c)            {                g[a][b]=g[b][a]=c;                dis[a][b]=dis[b][a]=c;            }        }        memset(path,0,sizeof(path));        Floyd();        if(mincircle==inf)            printf("-1\n");        else            printf("%d %d\n",mincircle,count);    }    return 0;}

http://poj.org/problem?id=1734

题意：求一个图中最小环，输出路径。

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;const int N=105;const int INF=9999999;int map[N][N],dist[N][N];int road[N][N],path[N];int m,n,cnt,ans;void Init(){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=n;j++)        {            dist[i][j]=INF;            road[i][j]=0;        }    }}/**记录最小环的路径*/void Record(int s,int t){    if(road[s][t])    {        Record(s,road[s][t]);        Record(road[s][t],t);    }    else path[cnt++]=t;}void Floyd(){    int i,j,k;    ans=INF;    for(k=1;k<=n;k++)    {        /**最小负环的判定*/        for(i=1;i<k;i++)        {            for(j=i+1;j<k;j++)            {                if(ans>dist[i][j]+map[i][k]+map[k][j])                {                    ans=dist[i][j]+map[i][k]+map[k][j];                    cnt=0;                    path[cnt++]=i;                    Record(i,j);                    path[cnt++]=k;                }            }        }        /**正常floyd部分*/        for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=1;j<=n;j++)            {                if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j])                {                    dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];                    road[i][j]=k;                }            }        }    }}int main(){    int i,j,u,v,w;    while(cin>>n>>m)    {        Init();        while(m--)        {            cin>>u>>v>>w;            if(w<dist[u][v]) /**如果有重边，就取最小的权值*/            {                dist[u][v]=w;                dist[v][u]=w;            }        }        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++)                map[i][j]=dist[i][j];        Floyd();        if(ans==INF) puts("No solution.");        else        {            cout<<path[0];            for(int i=1;i<cnt;i++)                cout<<" "<<path[i];            cout<<endl;        }    }    return 0;}