最短路（3）--floyd和用floyd求最小环

来源：互联网发布：php curl 文件上传编辑：程序博客网时间：2024/06/16 21:09

先介绍floyd算法，这种算法可以用来求图中任意两点间的最短路

思路：

用d[i][j]表示点i到点j的最小距离
如果要从点i到点j，有两种方法，一种是直接去，另一种是通过另一个点中转
而他们可以通过一个点中转，也可以是两个，也可以是三个。。。。
假设他们只能通过点1中转，则松弛操作为d[i][j] = min(d[i][j], d[i][1]+d[1][j])
在循环完所有i,j后，再更新了最短路的基础上再讨论经过点2中转，以此类推，即
for(int k = 1; k <= n; k++) for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) if(d[i][k] < INF && d[k][j] < INF) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

下面是整个程序的代码

//floyd#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN = 1000 + 10;const int INF = 0x3f3f3f3f;int d[MAXN][MAXN];int n, m;int main(){    freopen("sp.in", "r", stdin);    cin >> n >> m;    for(int i = 1; i <= n; i++)        for(int j = 1; j <= n; j++)            if(i != j) d[i][j] = INF;    for(int i = 1; i <= m; i++)    {        int u, v, w;        cin >> u >> v >> w;        d[u][v] = w;    }    for(int k = 1; k <= n; k++)        for(int i = 1; i <= n; i++)            for(int j = 1; j <= n; j++)                if(d[i][k] < INF && d[k][j] < INF)                     d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        for(int j = 1; j <= n; j++)            cout << d[i][j] << " ";        cout << endl;    }    return 0;}

floyd求最小环

思路：

如果我们要求包含点i, j的最小环，在已经算出来i, j之间的最短路d[i][j]的情况下（假设他们之间是经过点k中转的），还需要计算有j到i且不经过点k的最短路
我们令k为这个最小环里的最大编号的点，则在前面计算d[i][j]时，一定没有经过点k，所以当第一层循环循环到k时，枚举所有小于k的点对，计算d[i][j] + m[j][k] + m[k][i]，更新最小环的值
*把上面的程序放在正常求floyd时遍历i,j循环的前面*

//floyd求最小环 #include<cstdio>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN = 1000 + 10;const int INF = 0x3f3f3f3f;int d[MAXN][MAXN];int map[MAXN][MAXN];   //两点之间的距离，这个数组是固定的，不会更新 int n, m;int main(){    freopen("sp.in", "r", stdin);    cin >> n >> m;    for(int i = 1; i <= n; i++)        for(int j = 1; j <= n; j++)            if(i != j) d[i][j] = map[i][j] = INF;    for(int i = 1; i <= m; i++)    {        int u, v, w;        cin >> u >> v >> w;        d[u][v] = map[u][v] = w;    }    int ans = INF;    for(int k = 1; k <= n; k++)    {        for(int i = 1; i < k; i++)            for(int j = i+1; j < k; j++)                ans = min(ans, map[k][i] + map[j][k] + d[i][j]);        for(int i = 1; i <= n; i++)            for(int j = 1; j <= n; j++)                if(d[i][k] < INF && d[k][j] < INF)                     d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);    }//  for(int i = 1; i <= n; i++)//  {//      for(int j = 1; j <= n; j++)//          cout << d[i][j] << " ";//      cout << endl;//  }    cout << ans;    return 0;}

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