[从头学数学] 第176节 概率

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了结丹中期的修炼，
这次要修炼的目标是[概率]。

正剧开始：

星历2016年04月14日 09:46:28, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[概率]。

小伟决定自己来掷硬币玩一玩：

<span style="font-size:18px;">def tmp():    result = [];    print('试验次数--正面朝上次数---正面朝上频率');    for i in range(5, 105, 5):        count = 0;        for j in range(i):            number = random.randint(1, 10000);            if number%2 == 0:                count+=1;        #result.append([i, count, count/i]);        print('[',i,',',count,',',count/i, ']');if __name__ == '__main__':    tmp();        >>> 试验次数--正面朝上次数---正面朝上频率[ 5 , 1 , 0.2 ][ 10 , 3 , 0.3 ][ 15 , 9 , 0.6 ][ 20 , 9 , 0.45 ][ 25 , 15 , 0.6 ][ 30 , 11 , 0.36666666666666664 ][ 35 , 20 , 0.5714285714285714 ][ 40 , 14 , 0.35 ][ 45 , 20 , 0.4444444444444444 ][ 50 , 24 , 0.48 ][ 55 , 27 , 0.4909090909090909 ][ 60 , 28 , 0.4666666666666667 ][ 65 , 40 , 0.6153846153846154 ][ 70 , 35 , 0.5 ][ 75 , 38 , 0.5066666666666667 ][ 80 , 40 , 0.5 ][ 85 , 38 , 0.4470588235294118 ][ 90 , 47 , 0.5222222222222223 ][ 95 , 49 , 0.5157894736842106 ][ 100 , 55 , 0.55 ]>>> ================================ RESTART ================================>>> 试验次数--正面朝上次数---正面朝上频率[ 5 , 2 , 0.4 ][ 10 , 4 , 0.4 ][ 15 , 10 , 0.6666666666666666 ][ 20 , 12 , 0.6 ][ 25 , 11 , 0.44 ][ 30 , 9 , 0.3 ][ 35 , 19 , 0.5428571428571428 ][ 40 , 20 , 0.5 ][ 45 , 24 , 0.5333333333333333 ][ 50 , 24 , 0.48 ][ 55 , 32 , 0.5818181818181818 ][ 60 , 29 , 0.48333333333333334 ][ 65 , 35 , 0.5384615384615384 ][ 70 , 33 , 0.4714285714285714 ][ 75 , 32 , 0.4266666666666667 ][ 80 , 39 , 0.4875 ][ 85 , 45 , 0.5294117647058824 ][ 90 , 47 , 0.5222222222222223 ][ 95 , 42 , 0.4421052631578947 ][ 100 , 51 , 0.51 ]>>> 试验次数--正面朝上次数---正面朝上频率[ 5 , 4 , 0.8 ] ,[ 10 , 4 , 0.4 ] ,[ 15 , 10 , 0.6666666666666666 ] ,[ 20 , 14 , 0.7 ] ,[ 25 , 10 , 0.4 ] ,[ 30 , 13 , 0.43333333333333335 ] ,[ 35 , 17 , 0.4857142857142857 ] ,[ 40 , 26 , 0.65 ] ,[ 45 , 22 , 0.4888888888888889 ] ,[ 50 , 24 , 0.48 ] ,[ 55 , 29 , 0.5272727272727272 ] ,[ 60 , 30 , 0.5 ] ,[ 65 , 32 , 0.49230769230769234 ] ,[ 70 , 33 , 0.4714285714285714 ] ,[ 75 , 34 , 0.4533333333333333 ] ,[ 80 , 46 , 0.575 ] ,[ 85 , 38 , 0.4470588235294118 ] ,[ 90 , 47 , 0.5222222222222223 ] ,[ 95 , 46 , 0.4842105263157895 ] ,[ 100 , 58 , 0.58 ] ,</span>

每次结果都不一样的。

看一看这些数到底是怎样的：

<span style="font-size:18px;">if (1) {var config = new PlotConfiguration();        config.init();      config.setPreference();    var r = 20;  //config.setSector(1,1,1,1);    //config.graphPaper2D(0, 0, r);  //config.axis2D(0, 0,180);   var array = [[ 5 , 4 , 0.8 ] ,[ 10 , 4 , 0.4 ] ,[ 15 , 10 , 0.6666666666666666 ] ,[ 20 , 14 , 0.7 ] ,[ 25 , 10 , 0.4 ] ,[ 30 , 13 , 0.43333333333333335 ] ,[ 35 , 17 , 0.4857142857142857 ] ,[ 40 , 26 , 0.65 ] ,[ 45 , 22 , 0.4888888888888889 ] ,[ 50 , 24 , 0.48 ] ,[ 55 , 29 , 0.5272727272727272 ] ,[ 60 , 30 , 0.5 ] ,[ 65 , 32 , 0.49230769230769234 ] ,[ 70 , 33 , 0.4714285714285714 ] ,[ 75 , 34 , 0.4533333333333333 ] ,[ 80 , 46 , 0.575 ] ,[ 85 , 38 , 0.4470588235294118 ] ,[ 90 , 47 , 0.5222222222222223 ] ,[ 95 , 46 , 0.4842105263157895 ] ,[ 100 , 58 , 0.58 ] ];var len = array.length;  var stat = new Statistic();          var data = [], text = [];    //横坐标for (var i = 0; i <len; i++) {  data.push(array[i][2].toFixed(2));text.push(array[i][0].toFixed(0));  }       stat.init(data, '试验次数', '正面朝上频率', 1);   stat.rateHistogram(text, 0, 0);   }</span>

画个折线图瞅瞅：

<span style="font-size:18px;">if (1) {var config = new PlotConfiguration();        config.init();      config.setPreference();    var r = 20;  //config.setSector(1,1,1,1);    //config.graphPaper2D(0, 0, r);  //config.axis2D(0, 0,180);   var array = [[ 5 , 4 , 0.8 ] ,[ 10 , 4 , 0.4 ] ,[ 15 , 10 , 0.6666666666666666 ] ,[ 20 , 14 , 0.7 ] ,[ 25 , 10 , 0.4 ] ,[ 30 , 13 , 0.43333333333333335 ] ,[ 35 , 17 , 0.4857142857142857 ] ,[ 40 , 26 , 0.65 ] ,[ 45 , 22 , 0.4888888888888889 ] ,[ 50 , 24 , 0.48 ] ,[ 55 , 29 , 0.5272727272727272 ] ,[ 60 , 30 , 0.5 ] ,[ 65 , 32 , 0.49230769230769234 ] ,[ 70 , 33 , 0.4714285714285714 ] ,[ 75 , 34 , 0.4533333333333333 ] ,[ 80 , 46 , 0.575 ] ,[ 85 , 38 , 0.4470588235294118 ] ,[ 90 , 47 , 0.5222222222222223 ] ,[ 95 , 46 , 0.4842105263157895 ] ,[ 100 , 58 , 0.58 ] ];var len = array.length;  var stat = new Statistic();          var data = [], text = [];    //横坐标for (var i = 0; i <len; i++) {  data.push(array[i][2]);text.push(array[i][0].toFixed(0));  }       stat.init(data, '试验次数', '正面朝上频率', 1);   stat.lineGraph(text, 0, 0, 0, 1.0);   }//折线图this.lineGraph = function(lableArray, xOffset, yOffset, yMin, yMax) {lableArray = lableArray ? lableArray : [];var lables = lableArray.length;xOffset = xOffset ? xOffset : 0;yOffset = yOffset ? yOffset : 0;var colorArray = ['red', 'orange', '#0088FF', 'green', 'cyan', 'blue', '#FF00FF','#FF8844', 'purple'];var colors = colorArray.length;var height = 380, width = 580;plot.save().translate(xOffset+60, yOffset+50);plot.setLineWidth(2).setTextAlign('right');var max = yMax ? yMax : this.max();  var min = yMin ? yMin : 0; //最大值的末位为0的近似数，比如最大值25，最合适的近似数为30var dy = Math.round((max-min)/10*100)/100;var size = this.size();  var perH = Math.round((height-100) / 10);  var part = 2 * size;var perW = Math.round((width-100) / part);//宽和高度边界var wBound = part*perW, hBound = 10*perH;plot.setLineWidth(5).strokeRect(0, 0, wBound, hBound);this.axis2D(0, hBound, wBound+20, hBound+20, this.xLabel, this.yLabel);plot.setLineWidth(2);var count = 0;for (var i = hBound; i >-1; i -= perH) {plot.fillText((min+dy*count).toFixed(2), -10, i+10, 30);count++;if (i > 0) {plot.beginPath().moveTo(0, i).lineTo(wBound, i).closePath().stroke();}}for (var i = 0; i < part; i++) {plot.beginPath().moveTo(i*perW, 0).lineTo(i*perW, hBound).closePath().stroke();}var xpos, xpos2, ypos;plot.setStrokeStyle('red').setLineWidth(4);for (var i = 0; i < size; i++) { ypos = hBound-(this.statisticalSample[i]-min)/dy*perH;xpos = perW*(1+2*i);if (i==0) {plot.beginPath().moveTo(xpos, ypos);}else if (i < size-1) {plot.lineTo(xpos, ypos);}else {plot.lineTo(xpos, ypos).moveTo(xpos, ypos).closePath().stroke();}}  for (var i = 0; i < size; i++) { ypos = hBound-(this.statisticalSample[i]-min)/dy*perH;xpos = perW*(1+2*i);xpos2 = xpos + 0.5*perW;plot.setFillStyle('orange');shape.fillCircle(xpos, ypos, 5);plot.setFillStyle('blue');plot.fillText(this.statisticalSample[i].toFixed(2), xpos, ypos-5, 100);plot.setFillStyle('blue');plot.setTextAlign('center');if (i < lables) {plot.fillText(lableArray[i], xpos2-0.5*perW, hBound+30, 100);  }}plot.restore();}</span>

来个数据点少一点的：

<span style="font-size:18px;">>>> 试验次数--正面朝上次数---正面朝上频率[ 5 , 3 , 0.6 ] ,[ 15 , 9 , 0.6 ] ,[ 25 , 16 , 0.64 ] ,[ 35 , 15 , 0.42857142857142855 ] ,[ 45 , 20 , 0.4444444444444444 ] ,[ 55 , 31 , 0.5636363636363636 ] ,[ 65 , 38 , 0.5846153846153846 ] ,[ 75 , 44 , 0.5866666666666667 ] ,[ 85 , 42 , 0.49411764705882355 ] ,[ 95 , 50 , 0.5263157894736842 ] ,if (1) {var config = new PlotConfiguration();        config.init();      config.setPreference();    var r = 20;  //config.setSector(1,1,1,1);    //config.graphPaper2D(0, 0, r);  //config.axis2D(0, 0,180);   var array = [[ 5 , 3 , 0.6 ] ,[ 15 , 9 , 0.6 ] ,[ 25 , 16 , 0.64 ] ,[ 35 , 15 , 0.42857142857142855 ] ,[ 45 , 20 , 0.4444444444444444 ] ,[ 55 , 31 , 0.5636363636363636 ] ,[ 65 , 38 , 0.5846153846153846 ] ,[ 75 , 44 , 0.5866666666666667 ] ,[ 85 , 42 , 0.49411764705882355 ] ,[ 95 , 50 , 0.5263157894736842 ] ];var len = array.length;  var stat = new Statistic();          var data = [], text = [];    //横坐标for (var i = 0; i <len; i++) {  data.push(array[i][2]);text.push(array[i][0].toFixed(0));  }       stat.init(data, '试验次数', '正面朝上频率', 1);   stat.lineGraph(text, 0, 0, 0, 1.0);   }</span>

如果尝试次数够多呢？

<span style="font-size:18px;">试验次数--正面朝上次数---正面朝上频率[ 100 , 50 , 0.5 ] ,[ 1100 , 548 , 0.49818181818181817 ] ,[ 2100 , 1026 , 0.48857142857142855 ] ,[ 3100 , 1522 , 0.49096774193548387 ] ,[ 4100 , 2083 , 0.5080487804878049 ] ,[ 5100 , 2613 , 0.5123529411764706 ] ,[ 6100 , 3047 , 0.49950819672131147 ] ,[ 7100 , 3522 , 0.496056338028169 ] ,[ 8100 , 4083 , 0.5040740740740741 ] ,[ 9100 , 4595 , 0.5049450549450549 ] ,[ 10100 , 4960 , 0.4910891089108911 ] ,if (1) {var config = new PlotConfiguration();        config.init();      config.setPreference();    var r = 20;  //config.setSector(1,1,1,1);    //config.graphPaper2D(0, 0, r);  //config.axis2D(0, 0,180);   var array = [[ 100 , 50 , 0.5 ] ,[ 1100 , 548 , 0.49818181818181817 ] ,[ 2100 , 1026 , 0.48857142857142855 ] ,[ 3100 , 1522 , 0.49096774193548387 ] ,[ 4100 , 2083 , 0.5080487804878049 ] ,[ 5100 , 2613 , 0.5123529411764706 ] ,[ 6100 , 3047 , 0.49950819672131147 ] ,[ 7100 , 3522 , 0.496056338028169 ] ,[ 8100 , 4083 , 0.5040740740740741 ] ,[ 9100 , 4595 , 0.5049450549450549 ] ,[ 10100 , 4960 , 0.4910891089108911 ]];var len = array.length;  var stat = new Statistic();          var data = [], text = [];    //横坐标for (var i = 0; i <len; i++) {  data.push(array[i][2]);text.push(array[i][0].toFixed(0));  }       stat.init(data, '试验次数', '正面朝上频率', 1);   stat.lineGraph(text, 0, 0, 0, 1.0);   }</span>

嗯，原来如此。

<span style="font-size:18px;">>>> [0.14, 0.14, 1.0, 0.0, 0.6, 0.4]>>> ================================ RESTART ================================>>> [0.23, 0.16, 1.0, 0.0, 0.5, 0.5]>>> ================================ RESTART ================================>>> [0.14, 0.16, 1.0, 0.0, 0.51, 0.49]#掷骰子def dice():    N = 100;    count = [0]*6;    for i in range(N):        number = random.randint(1,6);        if number == 1:            count[0]+=1;        if number == 5:            count[1]+=1;        if number < 7:            count[2]+=1;        if number > 7:            count[3]+=1;        if number%2 == 0:            count[4]+=1;        if number%2 == 1:            count[5]+=1;    for i in range(len(count)):        count[i]/=N;    print(count);    </span>

<span style="font-size:18px;">>>> 两个骰子点数和为1的概率是0.0两个骰子点数和为2的概率是0.02两个骰子点数和为3的概率是0.07两个骰子点数和为4的概率是0.13两个骰子点数和为5的概率是0.08两个骰子点数和为6的概率是0.11两个骰子点数和为7的概率是0.14两个骰子点数和为8的概率是0.13两个骰子点数和为9的概率是0.13两个骰子点数和为10的概率是0.1两个骰子点数和为11的概率是0.04两个骰子点数和为12的概率是0.05#掷骰子, 两骰子点数和def dice():    N = 100;    count = [0]*12;    for i in range(N):        number1 = random.randint(1,6);        number2 = random.randint(1,6);        count[number1+number2-1]+=1;    for i in range(len(count)):        count[i]/=N;    for i in range(len(count)):        print('两个骰子点数和为{0}的概率是{1}'.format(i+1, count[i]));</span>

如果实验次数够多，最终会是这样的情况：

if (1) {var config = new PlotConfiguration();        config.init();      config.setPreference();    var r = 20;  //config.setSector(1,1,1,1);    //config.graphPaper2D(0, 0, r);  //config.axis2D(0, 0,180);   var array = [0.0, 0.02, 0.05, 0.105, 0.105, 0.155, 0.175, 0.105, 0.12, 0.11, 0.045, 0.01];var len = array.length;  var stat = new Statistic();          var data = [], text = [];    //横坐标for (var i = 0; i <len; i++) {  data.push(array[i]);text.push((i+1).toFixed(0));  }       stat.init(data, '点数和', '概率', 1);   stat.lineGraph(text, 0, 0, 0, 0.3);   }

这个方法是不公平的，数据说明了一切。

>>> pow(1/6, 10);
1.6538171687920194e-08

[人叫板老师]点明了这‘出老千’的现象是真实存在的。

<span style="font-size:18px;">>>> 三天内有两天下雨的概率是0.4未来三天的天气情况是[[1, 9, 0], [6, 6, 3], [8, 5, 1], [4, 5, 3], [6, 6, 3], [1, 1, 0], [1, 4, 5], [6, 3, 6], [5, 0, 1], [1, 8, 6], [0, 2, 1], [3, 5, 4], [2, 6, 8], [1, 2, 8], [5, 3, 6], [4, 9, 1], [7, 4, 9], [0, 1, 8], [8, 9, 1], [3, 2, 7]]>>> 三天内有两天下雨的概率是0.3未来三天的天气情况是[[3, 7, 9], [7, 5, 6], [5, 2, 0], [8, 8, 3], [6, 0, 3], [6, 1, 6], [5, 2, 8], [2, 2, 2], [1, 5, 5], [6, 6, 3], [0, 3, 2], [2, 2, 5], [6, 4, 7], [5, 7, 5], [1, 0, 2], [2, 6, 1], [3, 3, 4], [8, 8, 5], [2, 9, 1], [2, 0, 2]]def weather():    N = 20;    array = [([0]*3) for i in range(N)];    for i in range(N):        for j in range(3):            array[i][j] = random.randint(0, 9);                count2 = 0;    for i in range(N):        count = 0;        for j in range(3):            if array[i][j]>=1 and array[i][j]<=4:                count+=1;        if count == 2:            count2+=1;    print('三天内有两天下雨的概率是{0}'.format(count2/N));    print('未来三天的天气情况是\n{0}'.format(array));    if __name__ == '__main__':    weather();</span>

<span style="font-size:18px;">>>> 试验次数--两个正面朝上次数---两个反面朝上次数[ 100 , 38 , 35 ]>>> 试验次数--两个正面朝上次数---两个反面朝上次数[ 100 , 34 , 38 ]>>> 试验次数--两个正面朝上次数---两个反面朝上次数[ 100 , 32 , 40 ]def coin():    result = [0]*2;    print('试验次数--两个正面朝上次数---两个反面朝上次数');    for i in range(100):        count = [0]*2;        for j in range(3):            number = random.randint(1, 10000);            if number%2 == 0:                count[0]+=1;            else:                count[1]+=1;        if (count[0] == 2):            result[0]+=1;        if (count[1] == 2):            result[1]+=1;        #result.append([i, count, count/i]);    print('[ 100',',',result[0],',',result[1], ']');</span>

<span style="font-size:18px;">>>> 第1小题的概率是0.079第2小题的概率是0.921第3小题的概率是0.263第4小题的概率是0.137第5小题的概率是0.0第6小题的概率是0.166第7小题的概率是0.514第8小题的概率是1.0>>> ================================ RESTART ================================>>> 第1小题的概率是0.093第2小题的概率是0.907第3小题的概率是0.242第4小题的概率是0.153第5小题的概率是0.0第6小题的概率是0.153第7小题的概率是0.515第8小题的概率是1.0def card():    #抽牌1000次    N = 1000;    #8个小题    result = [0]*8;    for i in range(N):        #52张牌        number = random.randint(1, 52);        #约定1-13 第一组红心，依次黑桃、方块、草花        #(1)        if number%13 == 7:            result[0]+=1;        #(2)        if number%13 != 7:            result[1]+=1;        #(3)  方片        if number//13==2:            result[2]+=1;        #(4) JQK        if number%13 > 10:            result[3]+=1;        #(5)        if number//13==0 and number//13 == 3:            result[4]+=1;        #(6)        if number%13 > 6 and number%13<9:            result[5]+=1;        #(7)        if (number//13)%2==0:            result[6]+=1;        #(8)        if (number//13)%2==0 or (number//13)%2==1:            result[7]+=1;    for i in range(len(result)):        print('第{0}小题的概率是{1}'.format(i+1, result[i]/N));            if __name__ == '__main__':    card();</span>

<span style="font-size:18px;">>>> [0.0, 0.35, 1.0]>>> ================================ RESTART ================================>>> [0.0, 0.44, 1.0]>>> ================================ RESTART ================================>>> [0.0, 0.4, 1.0]def ball():    N = 100;    result = [0]*3;    for i in range(N):        #9个球编号1-9        number = random.randint(1, 9);        if number < 1:            result[0]+=1;        if number < 5:            result[1]+=1;        if number < 10:            result[2]+=1;    for i in range(len(result)):        result[i]/=N;    print(result);                       if __name__ == '__main__':    ball();</span>

<span style="font-size:18px;">>>> 两个骰子点数和为1的概率是0.0两个骰子点数和为2的概率是0.02两个骰子点数和为3的概率是0.06两个骰子点数和为4的概率是0.08两个骰子点数和为5的概率是0.09两个骰子点数和为6的概率是0.11两个骰子点数和为7的概率是0.225两个骰子点数和为8的概率是0.145两个骰子点数和为9的概率是0.12两个骰子点数和为10的概率是0.085两个骰子点数和为11的概率是0.055两个骰子点数和为12的概率是0.01#掷骰子, 两骰子点数和def dice():    N = 200;    count = [0]*12;    for i in range(N):        number1 = random.randint(1,6);        number2 = random.randint(1,6);        count[number1+number2-1]+=1;    for i in range(len(count)):        count[i]/=N;    for i in range(len(count)):        print('两个骰子点数和为{0}的概率是{1}'.format(i+1, count[i]));if __name__ == '__main__':    dice();</span>

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。