BestCoder Round #80 （hdu5665，hdu5666，hdu5667（矩阵快速幂+费马小定理），hdu5668（中国剩余定理））

Lucky

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5665

解题思路：

中文题目：

问题描述

\ \ \ \    Vampire喜欢玄学,尤其喜欢研究幸运数字.\ \ \ \    对于一个数字集合S,定义关于S的幸运数字为无法用S中的数相加得到的最小的非负整数(每个数可以使用任意次).\ \ \ \    现在给定一个数集,如果能使用其中的数相加得到任意自然数,输出”YES”,否则输出”NO”.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个正整数T,为数据组数.\ \ \ \    每组数据第一行一个n,表示集合大小.\ \ \ \    接下来n个数,表示该数集里的数.\ \ \ \ 1\le n\le 10^5,1\le T \le 10,0\le a_i \le 10^9    1≤n≤10​5​​,1≤T≤10,0≤a​i​​≤10​9​​.

输出描述

\ \ \ \    每组数据回答一个”YES”或”NO”.

输入样例

112

输出样例

NO

算法思想：

因为每个数可以用很多次,所以只要这个集合中有1,那么就可以加出所有的数来.

注意最后要判定一下是否有0.

AC代码：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        int x,n,flag1 = 0,flag2 = 0;        scanf("%d",&n);        while(n--){            scanf("%d",&x);            if(x == 0)                flag1 = 1;            if(x == 1)                flag2 = 1;        }        if(flag1 && flag2)            puts("YES");        else            puts("NO");    }    return 0;}

Segment

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5666

解题思路：

中文题目：

问题描述

\ \ \ \    Rivendell非常神,喜欢研究奇怪的问题.\ \ \ \    今天他发现了一个有趣的问题.找到一条线段$x+y=q$,令它和坐标轴在第一象限围成了一个三角形,然后画线连接了坐标原点和线段上坐标为整数的格点.\ \ \ \    请你找一找有多少点在三角形的内部且不是线段上的点,并将这个个数对$P$取模后告诉他.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.\ \ \ \    接下来每一行两个数$q$,$P$,意义如题目中所示.$q$是质数且q\le 10^{18},1\le P\le 10^{18},1\le T \le 10q≤10​18​​,1≤P≤10​18​​,1≤T≤10.

输出描述

\ \ \ \    对每组数据,输出点的个数模$P$后的值.

输入样例

12 107

输出样例

0

算法思想：

经发现，答案就是：q -= 2；ans = ((1+q)*q/2)%p。

AC代码：

import java.math.BigInteger;import java.util.Scanner;public class Main {    public static void main(String[] args){    Scanner sca = new Scanner(System.in);    int T = sca.nextInt();    for(int t = 1; t <= T; ++t){    BigInteger q = sca.nextBigInteger();    BigInteger p = sca.nextBigInteger();    q = q.subtract(BigInteger.valueOf(2));            <span style="white-space:pre"></span>q = (q.add(BigInteger.ONE)).multiply(q).divide(BigInteger.valueOf(2)).mod(p);    System.out.println(q);    }    }}

Sequence

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

解题思路：

中文题目：

问题描述

\ \ \ \    Lcomyn 是个很厉害的选手,除了喜欢写17kb+的代码题,偶尔还会写数学题.他找到了一个数列:f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.f​n​​=​⎩​⎨​⎧​​​1,​a​b​​,​a​b​​f​n−1​c​​f​n−2​​,​​​n=1​n=2​otherwise​​\ \ \ \    他给了你几个数:$n$,$a$,$b$,$c$,你需要告诉他f_nf​n​​模$p$后的数值.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.\ \ \ \    每组数据一行,一行五个正整数,按顺序为$n$,$a$,$b$,$c$,$p$.\ \ \ \ 1\le T \le 10,1\le n\le 10^{18}    1≤T≤10,1≤n≤10​18​​,1\le a,b,c\le 10^91≤a,b,c≤10​9​​,p是质数且p\le 10^9+7p≤10​9​​+7.

输出描述

\ \ \ \    对每组数据输出一行一个数,输出f_nf​n​​对$p$取模后的数值.

输入样例

15 3 3 3 233

输出样例

190

算法思想：

观察递推式我们可以发现，所有的f_if​i​​都是$a$的幂次，所以我们可以对f_if​i​​取一个以$a$为底的$log$，即g_i=log_a\ f_ig​i​​=log​a​​ f​i​​

那么递推式变成g_i=b+c*g_{i-1}+g_{i-2}g​i​​=b+c∗g​i−1​​+g​i−2​​,这个式子可以矩阵乘法

这题有一个小trick，注意$amodp=0$的情况.

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll MOD;struct Matrix{    ll ary[3][3];    void init(){        memset(ary,0,sizeof(ary));    }    Matrix(){        init();    }};Matrix multi(Matrix a, Matrix b){    Matrix tmp;    for(int i = 0; i < 3; ++i){        for(int j = 0; j < 3; ++j){            for(int k = 0; k < 3; ++k)                tmp.ary[i][j] = (tmp.ary[i][j] + a.ary[i][k] * b.ary[k][j]) % MOD;        }    }    return tmp;}ll quick_pow(Matrix base,ll n){    Matrix ans;    for(int i = 0; i < 3; ++i)        ans.ary[i][i] = 1;    while(n){        if(n&1)            ans = multi(ans,base);        n >>= 1;        base = multi(base,base);    }    return (ans.ary[0][0]+ans.ary[0][2])%MOD;}ll quick_pow(ll a,ll n,ll p){    ll ans = 1;    while(n){        if(n&1)            ans = ans*a%p;        n >>= 1;        a = a*a%p;    }    return ans;}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        ll n,a,b,c,p;        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&p);        if(n == 1){            printf("1\n");            continue;        }        if(a%p == 0){            printf("0\n");            continue;        }        ll ab = quick_pow(a,b,p);        if(n == 2){            printf("%lld\n",ab);            continue;        }        MOD = p-1;        Matrix base;        base.ary[0][0] = c; base.ary[0][1] = 1; base.ary[0][2] = 1;        base.ary[1][0] = 1; base.ary[1][1] = 0; base.ary[1][2] = 0;        base.ary[2][0] = 0; base.ary[2][1] = 0; base.ary[2][2] = 1;        ll exp = quick_pow(base,n-2);        ll ans = quick_pow(ab,exp,p);        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

Circle

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5668

解题思路：

中文题目：

问题描述

\ \ \ \    Fye对约瑟夫游戏十分着迷.\ \ \ \    她找到了$n$个同学,把他们围成一个圈,让他们做约瑟夫游戏,然后她得到了一个同学们出圈的编号序列.游戏是这样进行的:以同学$1$为起点,开始计数,计数到第$k$个同学,该同学出圈.出圈的同学将不参与之后的计数.\ \ \ \    如今Fye找到了你,她想让你告诉他满足已知出圈序列的最小的$k$,如果你回答不上来,她就会很生气然后把你吊打一顿.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.\ \ \ \    对每组测试数据,第一行一个数$n$.\ \ \ \    第二行$n$个数,为同学的出圈序列(第ai个出圈的人,编号为i).\ \ \ \    输入数据必须是一个$1$到$n$的合法排列.$1\le T\le 10,2\le N\le 20$.

输出描述

\ \ \ \    对于每组测试数据,若存在合法的$k$,输出一个正整数,为合法的最小$k$,否则输出”Creation August is a SB!“.

输入样例

177 6 5 4 3 2 1

输出样例

420

算法思想：

考虑对给定的出圈序列进行一次模拟,对于出圈的人我们显然可以由位置,编号等关系得到一个同余方程 一圈做下来我们就得到了n个同余方程 对每个方程用扩展欧几里得求解,最后找到最小可行解就是答案. 当然不要忘了判无解的情况. 

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 25;ll a[N],m[N],n;int b[N];int vis[N];ll extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if(b == 0){        x = 1,y = 0;        return a;    }    else{        ll r = extend_gcd(b,a%b,y,x);        y -= x*(a/b);        return r;    }}ll CRT(ll a[],ll m[],int n) {    if(n == 1){        if(m[0] > a[0])            return a[0];        else            return -1;    }    ll x,y,d;    for(int i = 1; i < n; ++i){        if(m[i] <= a[i])            return -1;        d = extend_gcd(m[0],m[i],x,y);        if((a[i] - a[0]) % d != 0)            return -1;        ll t = m[i] / d;        x = ((a[i]-a[0])/d*x%t+t)%t;        a[0] = x*m[0]+a[0];        m[0] = m[0]*m[i]/d;        a[0] = (a[0]%m[0]+m[0])%m[0];    }    return a[0];}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        int n;        scanf("%d",&n);        for(int i = 0; i < n; ++i) {            int rd;            scanf("%d",&rd);            //b[i+1]=rd;            b[rd] = i+1;        }        memset(vis,0,sizeof(vis));        ll z = 1;        for(int i = 1; i <= n; ++i){            int cnt = 0;            for(int j = b[i-1]+1; ; ++j){                if(j == n+1) j = 1;                if(vis[j] == 0) cnt++;                if(j == b[i]) {                    vis[j] = 1;                    break;                }            }            a[i-1] = cnt;            m[i-1] = n-i+1;            a[i-1] %= m[i-1];            z = z*m[i-1]/__gcd(z,m[i-1]);        }        ll ans = CRT(a,m,n);        if(ans == 0)            ans += z;        if(ans == -1)            puts("Creation August is a SB!");        else            printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}