LeetCode总结，分治法总结

分治算法

一、基本概念

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。


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二、基本思想及策略

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。


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三、分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。


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四、分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
7. return(T)

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。


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五、分治法的复杂性分析

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：T（n）= k T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

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六、可使用分治法求解的一些经典问题

（1）二分搜索
（2）大整数乘法
（3）Strassen矩阵乘法
（4）棋盘覆盖
（5）合并排序
（6）快速排序
（7）线性时间选择
（8）最接近点对问题
（9）循环赛日程表
（10）汉诺塔

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七、依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。
1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法
2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

八，典型分治法案例解析

1,快速排序

快排是C.R.A.Hoare于1962年提出的一种划分交换排序。它采用了一种分治的策略，该方法的基本思想是：
1)．先从数列末尾取出一个数作为基准元。
2)．分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
3)．再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

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1. //手动快速默写快排：先划界，再分治....    
2. int quickPartion(int *arr, int low, int high)  
3. {  
4.     int pos = rand() % (high - low + 1) + low;  
5.     swap(arr, pos, high);//将末尾的元素随机化,防止极端情况    
6.     int key = arr[high];//总是将末尾元素选为关键化界元  
7.     int i = low - 1;//总是记录比key小的元素最前面的位置  
8.     for (int j = low; j <= high - 1; j++)  
9.     {  
10.         if (arr[j] <= key)  
11.             swap(arr, ++i, j);  
12.     }  
13.     swap(arr, ++i, high);  
14.     return i;//返回“中间位置”  
15. }  
16.   
17. void QuickSort(int *arr, int low, int high)  
18. {  
19.     if (low < high)  
20.     {  
21.         int mid = quickPartion(arr, low, high);  
22.         QuickSort(arr, low, mid - 1);  
23.         QuickSort(arr, mid + 1, high);  
24.     }  
25. }  

2，归并排序
归并排序是把序列递归地分成短序列，递归出口是短序列只有1个元素(认为直接有序)或者2个序列(1次比较和交换),然后把各个有序的段序列合并成一个有序的长序列，不断合并直到原序列全部排好序。可以发现，在1个或2个元素时，1个元素不会交换，2个元素如果大小相等也没有人故意交换，这不会破坏稳定性。那么，在短的有序序列合并的过程中，稳定是是否受到破坏？没有，合并过程中我们可以保证如果两个当前元素相等时，我们把处在前面的序列的元素保存在结果序列的前面，这样就保证了稳定性。所以，归并排序也是稳定的排序算法。

核心函数：

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1. //分治法的合并函数    
2. //arr[low...mid]与arr[mid+1...high]相合并  
3. void Merge(int *arr, int low, int mid, int high)  
4. {  
5.     int leftlen = mid - low + 1;//arr[low...mid]的长度  
6.     int rightlen = high - mid;//arr[mid+1...high]的长度  
7.   
8.     int *L = new int[leftlen + 1];//每次归并时都在动态申请内存，这里可以优化  
9.     int *R = new int[rightlen + 1];  
10.     L[leftlen] = INT_MAX;//末尾均是哨兵元素      
11.     R[rightlen] = INT_MAX;  
12.     //赋值，准备有序放入arr[low.....high]  
13.     int i = 0;  
14.     for (; i < leftlen; i++)  
15.         L[i] = arr[low + i];  
16.       
17.     int j = 0;  
18.     for (; j < rightlen; j++)  
19.         R[j] = arr[mid + j + 1];  
20.   
21.     //有序放入arr[low.....high]  
22.     i = 0; j = 0;  
23.     for (int k = low; k <= high; k++)  
24.     {  
25.         if (L[i] <= R[j])//谁更小，谁就放入arr[k]中  
26.             arr[k] = L[i++];  
27.         else  
28.             arr[k] = R[j++];  
29.     }  
30.   
31.     delete[] L; L = NULL;  
32.     delete[] R; R = NULL;  
33. }  
34.   
35. //合并排序法（分治法）    
36. void MergeSort(int *arr, int low, int high)  
37. {  
38.     if (low < high)  
39.     {  
40.         int mid = (low + high) / 2;  
41.         MergeSort(arr, low, mid);  
42.         MergeSort(arr, mid + 1, high);  
43.         Merge(arr, low, mid, high);  
44.     }  
45. }  

九，Leetcode实例

题目：

在一个未排序的数组中找到第k大的元素，注意此言的第k大就是排序后的第k大的数，
注意：给定k总是安全有效的。

分析：

总是将要划界的数组段末尾的元素为划界元，将比其小的数交换至前，比其大的数交换至后，最后将划界元放在“中间位置”（左边小，右边大）。划界将数组分解成两个子数组（可能为空）。

设数组下表从low开始，至high结束。
1、 总是取要划界的数组末尾元素为划界元x，开始划界：

a) 用j从low遍历到high-1（最后一个暂不处理），i=low-1，如果nums[j]比x小就将nums[++i]与nums[j]交换位置

b) 遍历完后再次将nums[i+1]与nums[high]交换位置（处理最后一个元素）;

c) 返回划界元的位置i+1，下文称其为midpos

这时的midpos位置的元素，此时就是整个数组中第N-midpos大的元素，我们所要做的就像二分法一样找到K=N-midpos的“中间位置”，即midpos=N-K

2、 如果midpos==n-k，那么返回该值，这就是第k大的数。
3、 如果midpos>n-k，那么第k大的数在左半数组
4、 如果midpos<n-k，那么第k大的数在右半数组

//思路首先：  //快排划界，如果划界过程中当前划界元的中间位置就是k则找到了  //time,o(n*lg(k)),space,o(1)  class Solution {  public:      //对数组vec，low到high的元素进行划界，并获取vec[high]的“中间位置”      int quickPartion(vector<int> &vec, int low,int high)      {            int x = vec[high];          int i = low - 1;          for (int j = low; j <= high - 1; j++)          {              if (vec[j] <= x)//小于x的划到左边                  swap(vec,++i,j);          }          swap(vec,++i,high);//找到划界元的位置          return i;//返回位置      }       //交换数组元素i和j的位置      void swap(vector<int>& nums, int i, int j){            int temp = nums[i];            nums[i]=nums[j];            nums[j]=temp;        }       int getQuickSortK(vector<int> &vec, int low,int high, int k)        {            if(low >= high) return vec[low];          int  midpos = quickPartion(vec, low,high);   //对原数组vec[low]到vec[high]的元素进行划界            if (midpos == vec.size() - k)      //如果midpos==n-k，那么返回该值，这就是第k大的数                return vec[midpos];          else if (midpos < vec.size() - k)  //如果midpos<n-k，那么第k大的数在右半数组               return getQuickSortK(vec, midpos+1, high, k);          else                               //如果midpos>n-k，那么第k大的数在左半数组               return getQuickSortK(vec, low, midpos-1, k);      }       int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {          return getQuickSortK(nums,0,nums.size()-1,k);      }  };  

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