再探二分搜索

1基本的二分搜索， 在没有重复元素的数组中查找一个元素

#include <stdio.h>int binsearch(int a[], int t, int l, int h){int p;while (1){if (l > h){p = -1;break;}int m = (l + h) / 2;if (a[m] < t)l = m + 1;else if (a[m] > t)h = m - 1;else {p = m;break;}}return p;}int main(){int a[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7};printf("%d\n", binsearch(a, 2, 0, 6));printf("%d\n", binsearch(a, 8, 0, 6));}

关键有以下几点：

1）循环的不变性，查找元素必须在[l, h]之间，包括l和h，而且l <= h，这个条件是进入循环就需要一直成立的

2）第一个if条件中，由于不满足第二个循环不变性，退出循环；

 第二个if条件中，a[m] < t，则t 位于 [m+1(l), h]之间，满足不变性，继续循环，第三个同理；

最后一个找到目标，退出循环

3）l 和h的范围是 l [0, n]:  0 表示l的下界， h 是 [-1, n), n-1是h的上界；而l的n和h的-1，则表示，当n =0 时，l取得0, h取得-1, 由于不满足循环的不变性，在第一个if中退出循环， l + h的范围是 [-1, 2n - 1]

2有重复元素的数组中查找重复元素的最小下标

#include <stdio.h>int bs_duplicate(int a[], int n， int t, int l, int u){while (l + 1 != u){int m = (l + u) / 2;if (a[m] < t)l = m;elseu = m;}int p = u;if (p >= n || a[p] != t)p = -1;return p;}int main(){int a[10] = {1,1,3,4,5,5};printf("%d", bs_duplicate(a, 6， 5, -1, 6));}

1）循环的不变性 ： t 属于 (l, u]中，且l < u， 这样的不变性是因为，我们需要找到仅仅有两个元素的时候，判断前一个元素比t小，后一个元素=t或者 >t, 进而找到第一次出现t的位置，否则，若第一个不变性与常规的二分查找相同，则有可能 l = t = u， 第二个不变性是要保证数组中至少有一个元素，之所以不是l = u表示数组中至少有一个元素，是因为l此时表示的不是查找范围内的下标

2)可以看到进入循环的条件比单独的l < u这一循环不变性条件更强，目的是为了定位到最终的唯一一个元素中，因此， 可以说进入循环必然满足循环不变性，而循环条件应该是某个循环不变性的子集，对于常规的二分搜索来说，循环条件与某一循环不变性相同

条件中的 循环不变性，进入循环的条件是至少有一个元素， 之后，在第一个条件中， 由于a[m] < t, 则， l = m， 满足循环不变性，而第二个条件同理

退出循环后，仍然满足循环不变性， 但是不满足循环条件，循环条件和循环不变性不同， 此时可知我们定位到唯一的一个元素啊a[u]上，由于仍然满足循环不变性， 则有 t > a[l], t <= a[ l + 1],  此时两个相邻元素a[l] 和a[l + 1] 就是我们想找到第一次出现t的方法（就是找到比t小的最大的元素）， 那么此时又两种情况， 或者下一个找到比t小的之后的元素= t， 或者，之后的元素 > t，就是数组中没有t

3）l的范围是[-1, n), u的范围是[0, n]。 l + h 的范围是 [ -1, 2n - 1]。 l 的范围表示中 -1表明，因为t可能是a[0]， 所以比a[0]小的下标就是-1; u的范围中， n 表示， 若t= a[n-1]，则比a[n-1]大的下标就是n, 之所以有n,是因为数组中有重复元素， 所以会有 t <= a[n], 而不是常规的t < a[n].而此处，-1和n都是假想的元素下标，目的是为了与数组中元素的循环不变性相一致。当n =0 时， l 取得 -1, u取得 0， 可以看到它将由于不满足进入循环的条件而直接进入判断。

4)可以看到，以上两个二分查找的l + h的范围相同， 也就是说，求得的m的范围相同，而且[0, n - 1],  仍然满足l和h的范围。