错排问题
来源:互联网 发布:sql循环执行存储过程 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 00:30
hdu 2048 神、上帝以及老天爷
Problem Description
HDU 2006’10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了!
为了活跃气氛,组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动,这个活动的具体要求是这样的:
首先,所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中;
然后,待所有字条加入完毕,每人从箱中取一个字条;
最后,如果取得的字条上写的就是自己的名字,那么“恭喜你,中奖了!”
大家可以想象一下当时的气氛之热烈,毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀!不过,正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾,这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖!
我的神、上帝以及老天爷呀,怎么会这样呢?
不过,先不要激动,现在问题来了,你能计算一下发生这种情况的概率吗?
不会算?难道你也想以悲剧结尾?!
Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C 行数据,每行包含一个整数n,表示参加抽奖的人数。
Output
对于每个测试实例,请输出发生这种情况的百分比,每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入),具体格式请参照sample output。
Sample Input
1
2
Sample Output
50.00%
由题目分析,再明显不过的错排!!!
别激动,首先让我解释一下什么是错排:
n个有序的元素应有n!个不同的排列,如若一个排列使得所有的元素都不在原来的位置上,则称这个排列为错排,有的叫重排.
错排递推分析:
以1 2 3 4四个数为例 1 2的错排是唯一的,即2 1; 1 2 3的错排 3 1 2 2 3 1 这二者可以看作是1 2的错排,3分别与1 2换位而得的.即: 1 2 3 4的错排 4 3 2 1 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2 1 4 3 3 1 4 2 2 3 4 1 第一列是由4分别与1,2,3互换位置,其余两个元素错排,由此生成的. 第二列是由4和3 1 2(1 2 3的一个错排)的每一个数互换而得到的. 第三列则是由4和另一个错排2 3 1换位而得到的.
上述分析的结果,实际上也是给出一种产生错排的方法.
设n个数1,2,3,…,n错排的数目为Dn,任取其中一个数i,数i分别与其它的n-1个数之一互换,其余n-2个数进行错排共得
(n-1)*D(n-2)个错排
另一部分为数i以外的n-1个数进行错排,然后i与其中每个数互换得
(n-1)*D(n-1)个错排
综合以上分析得递推关系:
Dn=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)) 其中D1=0,D2=1 得到D0=1
化简Dn=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))
Dn-n*D(n-1)=[(-1)^1]*[D(n-1)-(n-1)*D(n-2)]
=[(-1)^2]*[D(n-2)-(n-2)*D(n-3)]
=[(-1)^3]*[D(n-3)-(n-3)*D(n-4)]
……
=[(-1)^(n-1)]*(D1-D0)
而D1=1,D0=0,因此有:
Dn-n*D(n-1)=(-1)^n
哎呀呀,公式一大堆,头都晕了。可怜的小编还是要告诉你,下面的内容更加复杂,因为递推虽然好,可是有一个致命的弱点:求解递推关系,得到封闭形式往往需要技巧,而这个技巧可以难得无以言及。。。小编也想哭。诸位如果一下内容能够看得懂那就值得小编膜拜,如果看不懂也没事,小编跟你一样,嘻嘻嘻,也是看不懂,不过最后的结论要记住就万事大吉了。
由母函数可以得到,令:
G(x)=D0+D1*x+(D2/2!)*x^2+...
又有D1=D0+(-1)^1
D2=D1+(-1)^2
D3=D2+(-1)^3
…
可得
G(x)-x*G(x)=e^(-x)
则
G(x)=[e^(-x)]/(1-x)=[1-x+(x^2)/2!-...]/(1-x)
最后整理得到
Dn=(1-1+1/2!-...+[(-1)^n]*1/n!)*n!
记住,最后这条结论相当重要,是错排问题万变不离其宗的本质!!!
那么久了,大家也累了,就看看舒心的代码吧,保证,代码一定会让诸位看着舒心的,因为极其简短(相对来说)!!!
#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int main(){ int n; cin>>n; while(n--) { int m; cin>>m; double p=0,sign=1.0; //注意用浮点型 if(m==1) p=0; long long k=1; for(int i=2;i<=m;i++) { k=k*i; p=p+sign/(k*1.0); //求阶乘的倒数 sign=-sign; //不断地更换正负号相加减 } p=p*100; //小数转换为百分数 printf("%.2f%%\n",p); } return 0;}
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