跟着编程之美学算法——最长递增子序列
来源:互联网 发布:离心泵设计软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 09:08
本篇博客要继续解决一个升级的问题——最长递增子序列
问题定义:
给定一个长度为N的数组,找出一个最长的单调自增子序列(不一定连续,但是顺序不能乱)。例如:给定一个长度为6的数组A{5, 6, 7, 1, 2, 8},则其最长的单调递增子序列为{5,6,7,8},长度为4.
解法一:最长公共子序列法:
仔细思考上面的问题,其实可以把上面的问题转化为求最长公共子序列的问题。原数组为A{5, 6, 7, 1, 2, 8},下一步,我们对这个数组进行排序,排序后的数组为A‘{1, 2, 5, 6, 7, 8}。我们有了这样的两个数组后,如果想求数组A的最长递增子序列,其实就是求数组A与它的排序数组A‘的最长公共子序列。我来思考下原问题的几个要素:最长、递增、子序列(即顺序不变)。
递增:A‘数组为排序数组,本身就是递增的,保证了两序列的最长公共子序列的递增特性。
子序列:由于A数组就是原数组,其任意的子序列都是顺序不变的,这样就保证了两序列的最长公共子序列的顺序不变。
最长:显而易见。
具体的解法请参见上一篇博客:
http://www.cnblogs.com/liyukuneed/archive/2013/05/22/3090597.html
解法二:动态规划法(O(N^2))
既然是动态规划法,那么最重要的自然就是寻找子问题,对于这个问题,我们找到他的子问题:
对于长度为N的数组A[N] = {a0, a1, a2, ..., an-1},假设假设我们想求以aj结尾的最大递增子序列长度,设为L[j],那么L[j] = max(L[i]) + 1, where i < j && a[i] < a[j], 也就是i的范围是0到j - 1。这样,想求aj结尾的最大递增子序列的长度,我们就需要遍历j之前的所有位置i(0到j-1),找出a[i] < a[j],计算这些i中,能产生最大L[i]的i,之后就可以求出L[j]。之后我对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度,这些长度的最大值,就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列。
时间复杂度:由于每一次都要与之前的所有i做比较,这样时间复杂度为O(N^2)。
解法三:动态规划法(O(NlogN))
上面的解法时间复杂度仍然为O(N^2),与解法一没有明显的差别。仔细分析一下原因,之所以慢,是因为对于每一个新的位置j都需要遍历j之前的所以位置,找出之前位置最长递增子序列长度。那么我们是不是可以有一中方法能不用遍历之前所有的位置,而可以更快的确定i的位置呢?
这就需要申请一个长度为N的空间,B[N],用变量len记录现在的最长递增子序列的长度。
B数组内任意元素B[i],记录的是最长递增子序列长度为i的序列的末尾元素的值,也就是这个最长递增子序列的最大元素的大小值。
首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1
接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2
再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2
继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3
第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。
最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
注意,这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!
根据上面的分析,下面是后两种方法的C++代码实现:
#include <iostream>using namespace std;// LIS[j] = max(LIS[i]) + 1int LIS_DP_N2(int *array, int nLength){ int LIS[nLength]; for(int i = 0; i < nLength; i++) { LIS[i] = 1; } for(int i = 1; i < nLength; i++) { int maxLen = 0; for(int j = 0; j < i; j++) { if(array[i] > array[j]) { if(maxLen < LIS[j]) maxLen = LIS[j]; } } LIS[i] = maxLen + 1; } int maxLIS = 0; for(int i = 0; i < nLength; i++) { if(maxLIS < LIS[i]) maxLIS = LIS[i]; } return maxLIS;}int BinarySearch(int *array, int value, int nLength){ int begin = 0; int end = nLength - 1; while(begin <= end) { int mid = begin + (end - begin) / 2; if(array[mid] == value) return mid; else if(array[mid] > value) end = mid - 1; else begin = mid + 1; } return begin;}int LIS_DP_NlogN(int *array, int nLength){ int B[nLength]; int nLISLen = 1; B[0] = array[0]; for(int i = 1; i < nLength; i++) { if(array[i] > B[nLISLen - 1]) { B[nLISLen] = array[i]; nLISLen++; } else { int pos = BinarySearch(B, array[i], nLISLen); B[pos] = array[i]; } } return nLISLen;}int main(){ int data[6] = {5, 6, 7, 1, 2, 8}; cout<<LIS_DP_N2(data, 6)<<endl; cout<<LIS_DP_NlogN(data, 6)<<endl; return 0;}
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