区间迭代法 interval iterative method

一类迭代法.它是以区间为变量求解的线性方程组的迭代解法.在Rⁿ中区间可表示为X=[，x-]={≤x≤x-|x∈Rⁿ}.求解非线性方程组f(x)=0的区间迭代法，最早是穆尔(Moore，R.E.)于1966年对一维方程给出的区间牛顿法，但当方法推广到方程组时需要计算f′(x)的区间扩展F′(X)的逆，计算量太大，不能用于实际计算.在此基础上，克拉丘克(Krawczyk，R.)于1969年给出一个称为克拉丘克算子的区间算子

K(X，y)=y-Yf(y)+[I-YF′(X)](X-y)，

其中y∈X=[，x-]是任一点，Y∈R^n×n是一个已知矩阵，通常可取为区间矩阵F′(X)的中点矩阵，F′(X)是f′(x)的区间扩展.这个算子有以下性质：

1.若x^*∈X是f(x)=0的解，则

x^*∈K(X，y).

2.若X∩K(X，y)=∅，则f(x)=0在X中无解.

3.当K(X，y)⊂X时，则f(x)=0在X中有解存在，若半径r(K(X，y))<r(x)，则解惟一.

根据这些性质构造的区间迭代法

X^(k+1)＝X^(k)∩K(X^(k)，y^(k)) (k=0，1，…)，

X^(k)＝(^k，x-^k)，y^(k)∈X^(k)，

可判断解的存在惟一性.并且当

‖r(X^(k))‖≤ε

时，可得到解x^*的近似

x~^*＝^k+x-^k2，

其误差‖x~^*-x^*‖≤ε.这种迭代法后来经穆尔改进并给出解存在惟一的检验，称为克拉丘克-穆尔算法，它与通常点迭代相比的优点是迭代过程中能判断解是否存在惟一，并且能得到误差估计，缺点是用区间运算计算量较大.

20世纪70年代以后，又有很多作者提出了不少新的改进，特别是尼克(Nickel，K.)于1980年提出的球形牛顿法，在Rⁿ中以n维球代替n维长方体，是另一种很有特色的区间迭代法.

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知识来源：《数学辞海》编辑委员会 编.数学辞海·第四卷.北京：中国科学技术出版社.2002.