石子合并问题
来源:互联网 发布:java系统技术架构图 编辑:程序博客网 时间:2024/06/13 04:30
石子合并问题是最经典的DP问题。首先它有如下3种题型:
(1)有N堆石子,现要将石子有序的合并成一堆,规定如下:每次只能移动任意的2堆石子合并,合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小(或最大)。
分析:当然这种情况是最简单的情况,合并的是任意两堆,直接贪心即可,每次选择最小的两堆合并。本问题实际上就是哈夫曼的变形。
(2)有N堆石子,现要将石子有序的合并成一堆,规定如下:每次只能移动相邻的2堆石子合并,合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小(或最大)。
分析:我们熟悉矩阵连乘,知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵,那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。
设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值,sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式:
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> using namespace std; const int INF = 1 << 30; const int N = 205; int dp[N][N]; int sum[N]; int a[N]; ///统计石子的堆数 int getMinval(int a[],int n) { for(int i=0;i<n;i++) ///初始化边界 dp[i][i] = 0; for(int v=1;v<n;v++) ///合并的石子的堆数,因为从0开始输入的,所以此时的1表示的是两堆 { for(int i=0;i<n-v;i++) ///开始的那一堆 { int j = i + v; ///结束的那一堆 dp[i][j] = INF; ///记录前面第i堆和第j堆中石子的个数差距 int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0); for(int k=i;k<j;k++) dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j] + tmp); } } return dp[0][n-1]; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); ///sum数组用来记录到第i堆时前面总共的石子数 sum[0] = a[0]; for(int i=1;i<n;i++) sum[i] = sum[i-1] + a[i]; printf("%d\n",getMinval(a,n)); } return 0; }
直线取石子问题的平行四边形优化:
- #include <iostream>
- #include <string.h>
- #include <stdio.h>
- using namespace std;
- const int INF = 1 << 30;
- const int N = 1005;
- int dp[N][N];
- int p[N][N];
- int sum[N];
- int n;
- int getMinval()
- {
- for(int i=1; i<=n; i++)
- {
- dp[i][i] = 0;
- p[i][i] = i;
- }
- for(int len=1; len<n; len++)
- {
- for(int i=1; i+len<=n; i++)
- {
- int end = i+len;
- int tmp = INF;
- int k = 0;
- for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++)
- {
- if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp)
- {
- tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1];
- k = j;
- }
- }
- dp[i][end] = tmp;
- p[i][end] = k;
- }
- }
- return dp[1][n];
- }
- int main()
- {
- while(scanf("%d",&n)!=EOF)
- {
- sum[0] = 0;
- for(int i=1; i<=n; i++)
- {
- int val;
- scanf("%d",&val);
- sum[i] = sum[i-1] + val;
- }
- printf("%d\n",getMinval());
- }
- return 0;
- }
(3)问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法,如果把石子改为环形排列,又怎么做呢?
分析:状态转移方程为:
其中有:
- #include <iostream>
- #include <string.h>
- #include <stdio.h>
- using namespace std;
- const int INF = 1 << 30;
- const int N = 205;
- int mins[N][N];
- int maxs[N][N];
- int sum[N],a[N];
- int minval,maxval;
- int n;
- int getsum(int i,int j)
- {
- if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n);
- else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);
- }
- void Work(int a[],int n)
- {
- for(int i=0;i<n;i++)
- mins[i][0] = maxs[i][0] = 0;
- for(int j=1;j<n;j++)
- {
- for(int i=0;i<n;i++)
- {
- mins[i][j] = INF;
- maxs[i][j] = 0;
- for(int k=0;k<j;k++)
- {
- mins[i][j] = min(mins[i][j],mins[i][k] + mins[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));
- maxs[i][j] = max(maxs[i][j],maxs[i][k] + maxs[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));
- }
- }
- }
- minval = mins[0][n-1];
- maxval = maxs[0][n-1];
- for(int i=0;i<n;i++)
- {
- minval = min(minval,mins[i][n-1]);
- maxval = max(maxval,maxs[i][n-1]);
- }
- }
- int main()
- {
- while(scanf("%d",&n)!=EOF)
- {
- for(int i=0;i<n;i++)
- scanf("%d",&a[i]);
- sum[0] = a[0];
- for(int i=1;i<n;i++)
- sum[i] = sum[i-1] + a[i];
- Work(a,n);
- printf("%d %d\n",minval,maxval);
- }
- return 0;
- }
可以看出,上面的(2)(3)问题的时间复杂度都是O(n^3),由于过程满足平行四边形法则,故可以进一步优化到O(n^2)。
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