背包系列第四篇----完全背包（求解最大价值）

一：问题

完全背包问题描述：一个容量为V的背包。现在有N种物品，每种物品有无数个，每种物品的体积是C1，C2，…，Cn，对应的每种的价值是W1,W2，…，Wn.。试问，在不超过背包容量的情况下，物品装入背包的最大价值？

二：分析

先来看下完全背包和01背包的区别，我们再来看下什么是01背包？

01背包问题描述：一个容量为V的背包。现在有N种物品，每种物品只有一个，每种物品的体积是C1，C2，…，Cn，对应的每种的价值是W₁,W₂，…，W_n.。试问，在不超过背包容量的情况下，物品装入背包的最大价值？

注意以上两个红字部分，是的，它们的唯一区别就是完全背包每种物品有无数个，而01背包只能有1个。

01背包的时候，对于第i种物品，你只有两种选择，选择0次或者选择1次。

完全背包的时候，对于第i种物品，你可以选择0次，选择1次，选择2次，选择3次，，，，，，

我们来简单看下01背包和完全背包的对比代码：

//01背包for (int i = 1; i <= N; i++)  {      for (int j = 0; j <= V; j++)      {          dp[i][j] = dp[i - 1][j];//假设第i个不取          if (j - v[i] >= 0 && dp[i][j] < dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])//如果比它大，再取第i个              dp[i][j] = dp[i - 1][j - v[i]] + w[i];      }  }  

//完全背包for (int i = 1; i <= N; i++){    for (int j = 0; j <= V; j++)    {        dp[i][j] = dp[i - 1][j];//取0次        if (j - v[i] >= 0 && dp[i][j] < dp[i][j - v[i]] + w[i])//取1次，取2次，，，，，            dp[i][j] = dp[i][j - v[i]] + w[i];    }}

不同的地方就是在第7,8行，dp[ i - 1 ][ j  -  v[ i ] ]与dp[ i ][ j  -  v[ i ] ]，很容易知道dp[ i - 1 ][ j  -  v[ i ] ]里的第i种物品被选择了0次，而dp[ i ][ j  -  v[ i ] ]呢，里边可能已经选择了第i种物品。

三：代码

#include<iostream>  #include<algorithm>  using namespace std;#define N 6#define V 10                         //背包容量int w[N + 1] = { 0,2,3,1,4,6,5 };    //6个物品的价值,第一个0除外int v[N + 1] = { 0,5,6,5,1,19,7 };   //6个物品的体积,第一个0除外int dp[N + 5][V + 5];int main(){for (int i = 1; i <= N; i++){for (int j = 0; j <= V; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j];//取0次if (j - v[i] >= 0 && dp[i][j] < dp[i][j - v[i]] + w[i])//取1次，取2次，，，，，dp[i][j] = dp[i][j - v[i]] + w[i];}}printf("最大价值是：%d\n", dp[N][V]);return 0;}

数据测试：

四：算法优化

像01背包那样，dp[ i ][ j ]也是可以优化成dp[ j ]。代码如下：

#include<iostream>  #include<algorithm>  using namespace std;#define N 6#define V 10                         //背包容量int w[N + 1] = { 0,2,3,1,4,6,5 };    //6个物品的价值,第一个0除外int v[N + 1] = { 0,5,6,5,1,19,7 };   //6个物品的体积,第一个0除外int dp[V + 5];int main(){for (int i = 1; i <= N; i++)for (int j = v[i]; j <= V; j++)dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);printf("最大价值是：%d\n", dp[V]);return 0;}

细心的读者发现，优化的代码和01背包优化后的代码很相似，是的，读者不妨再把本系列的第一篇文章拿来看看，它们的差别就是：

for ( int j = v[ i ]; j <= V; j++ )   //完全背包优化代码

与

for ( int j = V; j <= v[ i ]; j-- )    //01背包优化代码

这里就留给读者自己思考吧，不难的。

可能读者学到这里感觉已经混乱了，不要着急，如果看了一遍就懂了背包问题，那这也未免太简单了，心急吃不了热豆腐，这些文章多看几遍，多看几遍，多看几遍，自然就懂了，要有耐心！！！

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