欧拉函数

来源：互联网发布：程序员考试时间编辑：程序博客网时间：2024/06/05 09:58

一个数的欧拉函数是指不超过这个数且与此数互质的正整数的个数。

1、如果n是质数，则φ(n) = n - 1

2、如果n为两个互质的数a,b的乘积，则φ(a*b) = φ(a) * φ(b)

与a*b互质的数，只能是既与a互质(有φ(a)个),又与b互质(有φ(b)个)，所以一共有φ(a) * φ(b)个

3、如果n为某一个质数p的幂次p^a，则φ(p^a) = (p-1)*p^(a-1)

在[1,p^a-1]范围内能被p整除的数一共有p^(a-1)-1个数，区间总数是p^a-1个，所以φ(p^a) = p^a-p^(a-1) = (p-1)*p^(a-1)

那么对于任意数求它的欧拉函数。

n = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3*....*pn^kn

φ(n) = φ(p1^k1) * φ(p2^k2)*...*φ(pn^kn)

= (p1-1)*p1^(k1-1)*(p2-1)*p2^(k2-1)*....

= p1^k1 * p2^k2 * p3^k3*....*pn^kn * (1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)

= n * (1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)

1、单个欧拉函数的计算 POJ 2407

Phi(n) = ∏(pi-1) * pi^(a-1)

求出每一个质因子和幂次，由公式计算得到。

LL cal( LL x ){    LL ans = 1;    for( int i = 2; i*i <= x; i++ )    {        if ( x % i == 0) //找到一个质因子        {            ans*=i-1;            x /= i;            while( x % i == 0 )            {                ans *= i;                x /= i;            }        }    }    if ( x > 1 ) ans*=(x-1);    return ans;}

2、欧拉函数线性筛( NlogN ) POJ 3090

找到n的最小质因数k phi( p ^a ) = (p-1)* p^( a - 1 )

如果n只能整除k，phi(n) = phi( n/k )*(k-1)

否则 phi(n) = phi(n/k)*k

void getphi(int n){    rep(i,1,n) mindiv[i] = i; //记录i的最小质因数    for(int i = 2; i*i <= n; i++)        if ( mindiv[i] == i )        {            for(int j = i*i; j <= n; j+=i) mindiv[j] = i;        }    phi[1] = 1;    rep(i,2,n)    {        phi[i] = phi[i/mindiv[i]];        if ( ( i / mindiv[i] ) % mindiv[i] == 0 ) phi[i] *= mindiv[i]; //还可以再除        else phi[i] *= ( mindiv[i] - 1 );    }}

3、欧拉筛O(N)

int prime[maxn/5];int f[maxn];bool isprime[maxn];void init(){int count = 0;Clean(isprime,true);for( int i = 2; i <= 5000000; i++ ){if ( isprime[i] ){prime[++count] = i;f[i] = i - 1;}for( int j = 1; j <= count; j++ ){if ( i * prime[j] > maxn-5 ) break;isprime[ i * prime[j] ] = false;if ( i % prime[j] )f[ i * prime[j] ] = (prime[j]-1) * f[i];else{f[ i * prime[j] ] = (prime[j]) * f[i];break;}}}}

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