逻辑运算

基本概念

1.逻辑常量与变量：逻辑常量只有两个，即0和1，用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样，也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区别，因为逻辑常量的取值只有两个，即0和1，而没有中间值。

2.逻辑运算：在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

3.逻辑函数：逻辑函数是由逻辑变量、常量通过运算符连接起来的代数式。同样，逻辑函数也可以用表格和图形的形式表示。

4.逻辑代数：逻辑代数是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统。逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础，也是数字电路分析和设计的关键。

5.运用在NOIP2015没有出现逻辑运算

表示方法

"∨" 表示"或" （逻辑加法）

"∧" 表示"与". （逻辑乘法）

"┐"表示"非". （逻辑否定）

"=" 表示"等价".

1和0表示"真"和"假"

(还有一种表示,"+"表示"或", "·"表示"与"

运算符号

各种编程语言中的逻辑运算符
　　

作用

C

Pascal

Java

VBC++

与

&&

and

&&

andand 或 &&

或

||

or

||

oror 或 ||

非

!

not

!

notnot 或 !

运算规则

A......B..................A And B....A Or B........A Xor B

0......0.......................0..............0................0

1......0.......................0..............1................1

0......1.......................0..............1................1

1......1.......................1..............1................0

简单的说

And:与运算。只有同为真时才为真，近似于乘法。

Or:或运算。只有同为假时才为假，近似于加法。

Xor:异或运算。相同为假，不同为真。

定义

真真得真（与运算），假假得假（或运算），同假异真（异或运算）。

基本公式

***：此处“+”表示“或”，" · " 表示“与”，“ ' ”表示“非”
　　(1) 0 · A = 0 (10) 1' = 0; 0' = 1
　　(2) 1 · A = A (11) 1 + A = 1
　　(3) A · A = A (12) 0 + A = A
　　(4) A · A' = 0 (13) A + A = A
　　(5) A · B = B · A (14) A + A' = 1
　　(6) A·(B·C) = (A·B)·C (15) A + B = B + A
　　(7) A·(B+C) = A·B + A·C (16) A+(B+C) = (A+B)+C
　　(8) (A·B)' = A' + B' (17) A+B·C = (A+B)·(A+C)
　　(9) (A')' = A (18) (A+B)' = A' · B'

逻辑变量之间的运算称为逻辑运算。二进制1和0在逻辑上可以代表“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。这种具有逻辑属性的变量就称为逻辑变量。

计算机的逻辑运算和算术的逻辑运算的主要区别是：逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加减运算那样有进位或借位的联系。

逻辑运算主要包括三种基本运算：逻辑加法（又称“或”运算）、逻辑乘法（又称“与”运算）和逻辑否定（又称“非”运算）。此外，“异或”运算也很有用。

逻辑加法

逻辑加法（“或”运算）通常用符号“+”或“∨”来表示。逻辑加法运算规则如下：

0+0=0， 0∨0=0

0+1=1， 0∨1=1

1+0=1， 1∨0=1

1+1=1， 1∨1=1

从上式可见，逻辑加法有“或”的意义。也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加为1。

逻辑乘法

逻辑乘法（“与”运算）通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示。逻辑乘法运算规则如下：

0×0=0， 0∧0=0， 0·0=0

0×1=0， 0∧1=0， 0·1=0

1×0=0， 1∧0=0， 1·0=0

1×1=1， 1∧1=1， 1·1=1

不难看出，逻辑乘法有“与”的意义。它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。

逻辑否定

逻辑非运算又称逻辑否运算。其运算规则为：

┐0=1 （非0等于1）

┐1=0 （非1等于0)

异或运算

异或运算（半加运算）通常用符号"⊕"表示，其运算规则为：

0⊕0=0 0同0异或，结果为0

0⊕1=1 0同1异或，结果为1

1⊕0=1 1同0异或，结果为1

1⊕1=0 1同1异或，结果为0

即两个逻辑变量相异，输出才为1