三维空间中的平面

---

本文主要复习高中几何中的平面方程

如何定义三维空间中的平面

三维空间中的平面由两个量确定：
① 一个法向量（垂直于该平面的向量）
② 一个已知点（位于该平面上的一个点）

下面给出在已知平面的法向量n和平面上一个已知点P的情况下，平面的方程

• 平面法向量为：n→=(a,b,c)T
• 平面一个已知点：P=(x0,y0,z0)T
• 平面方程为：ax+by+cz−(ax0+by0+cz0)=0
• 平面方程的另外一种写法：ax+by+cz+d=0，其中，d=−(ax0+by0+cz0) 下文都以该方程为例
• 或者是：ax+by+cz=d，其中，d=(ax0+by0+cz0)

空间点到空间平面的距离

空间点P=(x1,y1,z1)到平面的距离为：

D=ax1+by1+cz1+da2+b2+c2−−−−−−−−−−√

分子=点P代入平面方程的结果
分母=法向量的模值

原点到空间平面的距离

根据上面空间点到空间平面的距离，可以得到，原点P=(x1,y1,z1)=(0,0,0)T到平面的距离为：

D=da2+b2+c2−−−−−−−−−−√