NYOJ 1091 还是01背包

还是01背包

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难度：5

描述

有n个重量和价值分别为 wi 和 vi 的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

输入

多组测试数据。
每组测试数据第一行输入n 和 W ，接下来有n行，每行输入两个数，代表第i个物品的wi 和 vi。
1 <= n <=40
1 <= wi <= 10^15
1 <= vi <= 10^15
1 <= W <= 10^15

输出

每组数据输出一行，代表挑选方案中价值总和的最大值。

样例输入

4 52 31 23 42 2

样例输出

7

这道题乍一看是普通的01背包，最最基础的，但是仔细一看数据，发现普通的根本没法做，仔细观察数组发现n比较小，利用这个特点将它划分为前半部分和后半部分这样就好了，当时在网上找题解，找不到，后来在挑战程序设计上找到了这个题，就拿来引用一下

 

挑选物品的方法总从2^n中，直接枚举肯定不行，因为n最大为40，但是如果n为20就可以了，这时候就要用到折半枚举，先枚举前一半，在枚举后一半。先把前把部分的选取方法对应的重量和价值总和记为w1, v1,这样后半部分寻找w2 <= W - w1时 使v2最大的选取方法就好了。

因此，我们要思考从枚举得到的(w2, v2)的集合中高效寻找max{v2|w2<=W'}的方法。首先，显然我们可以排除所有w2[i] <= w2[j]并且v2[i] >= v2[j] 的 j。 这一点可以按照w2,v2的字典序排列后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] , v2[i] < v2[j], 要计算max{v2|w2<=W'}的话，只要寻找满足w2[i]<=W'的最大的i就可以了。这可以利用二分搜索完成。剩余的元素个数为M的话，一次搜索要用log(M)的时间，可以解决

//折半枚举 #include <stdio.h>#include <algorithm>#define INF 10000000000000000using namespace std;const int MAX = 40;int n;long long W;long long w[MAX], v[MAX];pair<long long, long long> dp[1 << (MAX / 2)];void solve(){//枚举前半部分 int n2 = n / 2;int i, j;long long sw, sv, tv;for(i = 0; i < 1 << n2; i++)//前半部分的枚举总数为 2^(n/2);{sw = 0, sv = 0;//每种结果选取特定的价值和重量(i.e 一共2个东西，就一共四种情况，都不选，选第一个，选第二个，都选) for(j = 0; j < n2; j++){if(i >> j & 1){sw += w[j];sv += v[j];}}dp[i] = make_pair(sw, sv); //加入到dp数组中}//对dp排序 sort(dp, dp + (1 << n2));//dp 去重 int m = 1;for(i = 1; i < 1 << n2; i++){if(dp[m - 1].second < dp[i].second){dp[m++] = dp[i];}}long long ans = 0;//保存结果//枚举后半部分， 并且找到最优解 for(i = 0; i < 1 << (n - n2); i++)//同样枚举的总个数 {sw = 0;  sv = 0;for(j = 0; j < n - n2; j++)//和前半部分的一样 {if(i >> j & 1){sw += w[n2 + j];sv += v[n2 + j];}}if(sw <= W)//加个判断求解最大价值，只有小于背包容量的时候 {tv = sv + (lower_bound(dp, dp + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;//找到前半部分对应的value ans = ans > tv ? ans : tv;}}printf("%lld\n", ans);}int main(){while(scanf("%d%lld", &n, &W) != EOF){for(int i = 0; i < n; i++)scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]);solve();}return 0;}/*//这个题也可以用搜做来做，搜索反而来的更快，因为n比较小 //深搜 #include <stdio.h>#define Max(a, b) a > b ? a : b#define MAX 45long long w[MAX], v[MAX], sw[MAX], sv[MAX];long long W, ans;int n;void DFS(int num, long long wt, long long vt){if(num == 0 || w == 0){ans = Max(ans, vt);return;}if(vt + sv[num] < ans)return;if(wt >= sw[num]){vt += sv[num];ans =  Max(ans, vt);return;}if(wt > w[num])DFS(num - 1, wt - w[num], vt + v[num]);DFS(num - 1, wt, vt);}int main(){while(scanf("%d%lld" , &n, &W) != EOF){sw[0] = 0;sv[0] = 0;ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]);sw[i] = sw[i - 1] + w[i];sv[i] = sv[i - 1] + v[i];}DFS(n, W, 0);printf("%lld\n", ans);}return 0;}