数据结构与算法——最短路径Dijkstra算法的C++实现

之前的讨论了无权图的最短路径算法。数据结构与算法——无权最短路径算法的C++实现

如果是加权图，那么问题就变得困难了，不过仍然可以采用无权情况的想法。

我们仍然保留之前的信息。因此，每个顶点会被标记为known或unknown，每个顶点保留一个尝试性的距离dv（这个距离是只使用一些known顶点作为中间顶点从s到v的最短路径的长），每个顶点还保留字段pv，该字段是记录引起dv变化的最后的顶点。

图顶点信息的数据结构：

//保存每个顶点信息的数据结构struct GraphNode{    bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定    int dist;//当前顶点到起点的最短距离    int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点};

Dijkstra算法简介：

解决单源最短路径问题的一般方法叫做Dijkstra算法。这个算法是贪心算法最好的例子。

贪心算法一般分阶段求解问题，在每个阶段它都把出现的东西当作是最好的去处理。

与无权最短路径算法一样，Dijkstra算法按阶段进行。在每个阶段，Dijkstra算法选择一个顶点v,它在所有的unknown顶点中具有最小的dv，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。其它阶段由顶点dv的更新工作成。

主要思想就是根据已经确定了的点的距离，来确定该点相邻顶点的距离，不断的向外散射，直到所以的点的到起点的最短距离确定为止。

下面是Dijkstra算法具体步骤图示：

假设源点s=v1，下面是求s到其它点的最短距离。

第一步：初始化顶点信息

第二步：

顶点v1就是顶点s，那么距离顶点v1路径长为0，将顶点v1字段的known设为true。

与s相邻的点为v2,v4。v1到v2的距离为4，v1到v4的距离为1。并更新v2和v4的距离。

p2 = v1; p4 = v1;

第三步：

寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v4标记为known。

然后，再根据顶点v4的dv值更新与v4相邻的所有点（v3,v6,v7,v5）的距离。

d4+d43 = 1+2 < d3,所以d3 = 3;p3 = v4;

d4+d46 = 1+8 < d6,所以d6 = 9;p6 = v4;

d4+d47 = 1+4 < d7,所以d7 = 5;p7 = v4;

d4+d45 = 1+2 < d5,所以d5 = 3;p5 = v4;

第四步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v2标记为known。

然后，再根据顶点v2的dv值更新与v2相邻的所有点（v4,v5）的距离。因为v4已经确定了，就不用更新了。因为d2+d25 = 2 + 10 > d5,d5的值为3。所以不需要更新d5。

第五步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v5标记为known。

然后，再根据顶点v5的dv值更新与v5相邻的所有点（v7）的距离。因为d5+d57 = 3+6>d7,所以d7不用更新。

第六步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v3标记为known。

然后，再根据顶点v3的dv值更新与v3相邻的所有点（v1，v6）的距离。因为v1是known的，所以d1不用更新。d3+d36 = 3+5 < d6，所以d6 = d3+d36 = 8; p6 = v3;

第七步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v7标记为known。

然后，再根据顶点v7的dv值更新与v7相邻的所有点（v6）的距离。因为d7+d76 = 5+1<d6,所以d6=d7+d76 = 6; p6 = v7;

第八步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v6标记为known。

然后，再根据顶点v6的dv值更新与v6相邻的所有点的距离。结果没有v6指向的其它顶点。

第九步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。结果没有找到满足条件的顶点，表明此时已经确定了所有顶点的距离，则退出算法。

Dijkstra算法的基本步骤：

1、初始化顶点信息；v.known = flase;v.dist = INFINITY;v.path = 0;

2、对起点s的dist字段设为0;s.dist = 0;

3、从所有顶点中找到dist最小的并且known为false的顶点v。然后将该顶点v的known置为true;

然后更新与顶点v相邻的所有其它known为false的顶点w的dist和path的值。

如果v.dist+distance(v,w) < w.dist;则更新w.dist = v.dist + distance(v, w);w.path=v;

4、循环执行第3步，直到从所有顶点中找不到known为false的顶点v为止，找不到合适的顶点的时候则退出算法。

Dijkstra算法的伪代码：

void Graph::dijkstra(Vertex s){          //初始化顶点信息          for each Vertex v          {                    v.known = false;                    v.dist = INFINITY;                    v.path = 0;          }                   //起点s的dist设为0          s.dist = 0;                   //循环执行第3步          for(; ;)          {                    //从所有顶点中找到dist最小的并且known为false的顶点v                    Vertex v = unknown smallest distance vertex;                                       //如果没有找到满足条件的v，则退出算法（此时所有顶点已经全部确定了）                    if(v == NOT_A_VERTEX)                              break;                                                 //将该顶点v的known置为true                    v.known = true;                                       //更新与顶点v相邻的所有其它known为false的顶点w的dist和path的值                    for each Vertex w adjacent to v                    {                              if(!w.known)                              {                                        //更新w.dist                                        if(v.dist+distance(v,w) < w.dist)                                        {                                                  w.dist = v.dist + distance(v,w);                                                  w.path = v;                                        }                                                                          }                                            }                   }}

Dijkstra算法的代码：

/**************************************************  函数名称：dijkstra(int src)*  功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离*  参数列表：src是起点*  返回结果：void *************************************************/void Graph::dijkstra(int src){    //初始化顶点信息    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){        nodeArr[i].known = false;        nodeArr[i].dist = INFINITY;        nodeArr[i].path = 0;    }    //重要的一步，开启算法的关键一步    nodeArr[src].dist = 0;    for(; ;){        //找到unknown的dist最小的顶点         int v = 0;        int max = INFINITY;        for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){            if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){                max = nodeArr[i].dist;                v = i;            }        }        //没有找到满足条件的顶点,退出算法        if(max == INFINITY)            break;        nodeArr[v].known = true;        //更新与v相邻所有顶点w的dist,path        for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){            if(!nodeArr[(*it).vertex].known){                if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){                    nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;                    nodeArr[(*it).vertex].path = v;                }            }        }    }}

图类的接口：

/********************************************************  类名称： 邻接表图********************************************************/ class Graph{    private:        int edge_num;//图边的个数        int vertex_num;//图的顶点数目        list<Node> * graph_list;//邻接表        vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组            public:        Graph(){}        Graph(char* graph[], int edgenum);         ~Graph();        void print();        void dijkstra(int src);        void printShorestPath();     private:        vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);        void addEdge(char* graph[], int columns);};

测试主函数：

int main(int argc, char *argv[]){    char *topo[5000];    int edge_num;    char *demand;    int demand_num;    char *topo_file = argv[1];    edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);    if (edge_num == 0)    {        printf("Please input valid topo file.\n");        return -1;    }    int src;    cout << "输入求最短路径的起点：";    cin >> src;    Graph G(topo, edge_num);    G.print();        cout << "Dijkstra: " << endl;    G.dijkstra(src);    G.printShorestPath();    release_buff(topo, edge_num);return 0;}

测试的图的数据：

1,1,2,22,1,4,13,2,4,34,2,5,105,3,1,46,3,6,57,4,3,28,4,6,89,4,5,210,4,7,411,5,7,612,7,6,1

图类的源代码：

#ifndef GRAPH_H#define GRAPH_H#include <list>#include <iostream>#include <vector>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <iterator>#include <stdio.h>#include <errno.h>#include <unistd.h>#include <signal.h>#include <queue>using namespace std;#define MAX_VERTEX_NUM 600#define INFINITY 1000000//将INFINITY定义为无穷大的值//保存每个顶点信息的数据结构struct GraphNode{    bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定    int dist;//当前顶点到起点的最短距离    int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点};//图节点信息typedef struct Node{     int edge_num;//边号     int src;//源点     int vertex;//自身     int weight;//边的权重 }Node; /********************************************************  类名称： 邻接表图********************************************************/ class Graph{    private:        int edge_num;//图边的个数        int vertex_num;//图的顶点数目        list<Node> * graph_list;//邻接表        vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组            public:        Graph(){}        Graph(char* graph[], int edgenum);         ~Graph();        void print();        void dijkstra(int src);        void printShorestPath();     private:        vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);        void addEdge(char* graph[], int columns);};/**************************************************  函数名称：dijkstra(int src)*  功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离*  参数列表：src是起点*  返回结果：void *************************************************/void Graph::dijkstra(int src){    //初始化顶点信息    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){        nodeArr[i].known = false;        nodeArr[i].dist = INFINITY;        nodeArr[i].path = 0;    }    //重要的一步，开启算法的关键一步    nodeArr[src].dist = 0;    for(; ;){        //找到unknown的dist最小的顶点         int v = 0;        int max = INFINITY;        for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){            if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){                max = nodeArr[i].dist;                v = i;            }        }        //没有找到满足条件的顶点,退出算法        if(max == INFINITY)            break;        nodeArr[v].known = true;        //更新与v相邻所有顶点w的dist,path        for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){            if(!nodeArr[(*it).vertex].known){                if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){                    nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;                    nodeArr[(*it).vertex].path = v;                }            }        }    }}/**************************************************  函数名称：printShorestPath()*  功能描述：将获得的src顶点到其它顶点的最短路径输出*  参数列表：无*  返回结果：无*************************************************/void Graph::printShorestPath(){    cout << "顶点\t" << "known\t" << "dist\t" << "path" << endl;    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){        if(nodeArr[i].known)            cout << i << "\t" << nodeArr[i].known << "\t" << nodeArr[i].dist << "\t" << nodeArr[i].path << endl;    } }/**************************************************  函数名称：print*  功能描述：将图的信息以邻接表的形式输出到标准输出*  参数列表：无*  返回结果：无*************************************************/void Graph::print(){    cout << "******************************************************************" << endl;     //for(int i = 0 ; i < MAX_VERTEX_NUM; ++i){    for(int i = 0 ; i < vertex_num; ++i){        if(graph_list[i].begin() != graph_list[i].end()){            cout << i << "-->";            for(list<Node>::iterator it = graph_list[i].begin(); it != graph_list[i].end(); ++it){                cout << (*it).vertex << "(边号:" << (*it).edge_num << ",权重:" << (*it).weight << ")-->";            }            cout << "NULL" << endl;        }    }    cout << "******************************************************************" << endl; }/**************************************************  函数名称：get_graph_value*  功能描述：将图的每一条边的信息保存到一个数组中*  参数列表: graph：指向图信息的二维数组             columns:图的第几条边*  返回结果：无*************************************************/vector<int> Graph::get_graph_value(char* graph[], int columns){    vector<int> v;    char buff[20];    int i = 0, j = 0, val;    memset(buff, 0, 20);    while((graph[columns][i] != '\n') && (graph[columns][i] != '\0')){        if(graph[columns][i] != ','){            buff[j] = graph[columns][i];            j++;        }        else{            j = 0;            val = atoi(buff);             v.push_back(val);            memset(buff, 0, 20);        }        i++;    }    val = atoi(buff);     v.push_back(val);    return v;}/**************************************************  函数名称：addEdge*  功能描述：将图的每一条边的信息加入图的邻接表中*  参数列表：graph：指向图信息的二维数组             columns:图的第几条边*  返回结果：无*************************************************/void Graph::addEdge(char* graph[], int columns){    Node node;    vector<int> v = get_graph_value(graph, columns);    node.edge_num = v[0];    node.src = v[1];    node.vertex = v[2];    node.weight = v[3];    //根据顶点的标号，求的总的顶点数目    if(node.vertex > vertex_num)        vertex_num = node.vertex;    //要考虑重复的边，但是边的权重不一样    for(list<Node>::iterator it = graph_list[node.src].begin(); it != graph_list[node.src].end(); ++it){        if((*it).vertex == node.vertex){            if((*it).weight > node.weight){                (*it).weight = node.weight;               }            return;        }    }    graph_list[node.src].push_back(node);}/**************************************************  函数名称：构造函数*  功能描述：以邻接表的形式保存图的信息,并保存必须经过的顶点*  参数列表：graph：指向图信息的二维数组             edgenum:图的边的个数*  返回结果：无*************************************************/Graph::Graph(char* graph[], int edgenum):nodeArr(MAX_VERTEX_NUM){    edge_num =  edgenum;     vertex_num = 0;    graph_list = new list<Node>[MAX_VERTEX_NUM+1];    for(int i = 0; i < edgenum; ++i){        addEdge(graph, i);       }    //对顶点信息进行初始化    for(int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; ++i){        nodeArr[i].known = false;        nodeArr[i].dist = INFINITY;        nodeArr[i].path = -1;//如果为-1，表示没有该点,配合dijkstra算法使用    }    vertex_num++;}/**************************************************  函数名称：析构函数*  功能描述：释放动态分配的内存*  参数列表：无*  返回结果：无*************************************************/Graph::~Graph(){    delete[] graph_list;}#endif

测试函数的源代码：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <assert.h>#include <time.h>#include <sys/timeb.h>#include <errno.h>#include <unistd.h>#include <signal.h>#include <stdio.h>#include "graphDijkstra.h"#define MAX_LINE_LEN 4000int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename);void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num);int main(int argc, char *argv[]){    char *topo[5000];    int edge_num;    char *demand;    int demand_num;    char *topo_file = argv[1];    edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);    if (edge_num == 0)    {        printf("Please input valid topo file.\n");        return -1;    }    int src;    cout << "输入求最短路径的起点：";    cin >> src;    Graph G(topo, edge_num);    G.print();        cout << "Dijkstra: " << endl;    G.dijkstra(src);    G.printShorestPath();    release_buff(topo, edge_num);return 0;}/*****************************************************************   函数名称：read_file*   功能描述: 读取文件中的图的数据信息*   参数列表: buff是将文件读取的图信息保存到buff指向的二维数组中 *             spec是文件中图最大允许的边的个数*             filename是要打开的图文件*   返回结果：无*****************************************************************/int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename){    FILE *fp = fopen(filename, "r");    if (fp == NULL)    {        printf("Fail to open file %s, %s.\n", filename, strerror(errno));        return 0;    }    printf("Open file %s OK.\n", filename);    char line[MAX_LINE_LEN + 2];    unsigned int cnt = 0;    while ((cnt < spec) && !feof(fp))    {        line[0] = 0;        fgets(line, MAX_LINE_LEN + 2, fp);        if (line[0] == 0)   continue;        buff[cnt] = (char *)malloc(MAX_LINE_LEN + 2);        strncpy(buff[cnt], line, MAX_LINE_LEN + 2 - 1);        buff[cnt][4001] = 0;        cnt++;    }    fclose(fp);    printf("There are %d lines in file %s.\n", cnt, filename);    return cnt;}/*****************************************************************   函数名称：release_buff*   功能描述: 释放刚才读取的文件中的图的数据信息*   参数列表: buff是指向文件读取的图信息*             valid_item_num是指图中边的个数*   返回结果：void*****************************************************************/void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num){    for (int i = 0; i < valid_item_num; i++)        free(buff[i]);}

运行结果：