正多变形的滚动与旋轮线下方的面积(有趣的几何问题)
来源:互联网 发布:俄罗斯方块网页版编程 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 05:03
问题分析:
3.现在,假设正多边形的外接圆半径为 r ,把这个正多边形的面积记作 A 。如图,折线段下方的面积可以被分成 n - 2 个蓝色三角形和 n - 1 个红色三角形(图中所示的是 n = 9 的情况)。这 n - 2 个蓝色三角形恰好能拼成一个原多边形,它们的面积和为 A 。下面,我们来看一下剩下的 n - 1 个红色三角形都是怎么形成的。正多边形一共转动了 n - 1 次,每一次都是绕着一个新的顶点在转动,这 n - 1 个红色三角形就是在这 n - 1 次转动中产生的。容易看出,每个红色三角形都是等腰三角形,它们的腰长分别为 d1, d2, …, dn-1。同时,由于 n 次转动后正多边形将回到原来的方向,因此每一次正多边形都转过了 (360/n)° 。因此,每个红色等腰三角形的顶角也都是 (360/n)° 。于是你会发现,第 i 个红色三角形的形状与正多边形的其中 1/n 块完全一样,只不过有一个 di : r 的相似比!注意到面积比是相似比的平方,于是所有红色三角形的面积之和为:
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