最小生成树的Prim算法

一、基本思想

       取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根，之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有n-1 个顶点为止。

      一般情况下所添加的顶点应满足下列条件:

      «在生成树的构造过程中，图中 n 个顶点分属两个集合：已落在生成树上的顶点集 U 和尚未落在生成树上的顶点集V-U ，则应在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。

二、示例

三、算法框架

Prim算法可用下述过程描述，其中用w(u,v)表示顶点u与顶点v边上的权值。

Prim(GraphG, int v0)

{// v0－初始出发点，E－生成对中边的集合，U－生成树中顶点的集合　　　   

    E=Φ

    U={v0}//U已经处理顶点集合

    S={v1,v2,v3,……,vn-1}//图中剩余顶点集合

    while(S ≠ φ){

        (u,v)=argmin{w(u,v) | u∈U, v∈S}

            S=S- {v}

            U=U+{v}

            E=E +{(u,v)}

     }

｝

四、问题探讨

Prim算法的思路比较容易理解，下面我们研究如何将算法框架进一步细化成具体的算法。在具体写出Prim算法时，我们首先要解决几个问题。

      ① 生成树如何表示？

      ② 如何表示集合S？ 如何表示集合T=V-S？

      ③ 算法框架中，求最小权值的边 

           (u，v)＝min{w(u,v)；u∈T，v∈S }，

         这个算法如何实现？

      u对于第一个问题，生成树的表示方法很多。这里突出Prim算法的这个主题，我们简单地用边集数组表示，即简单列出生成树中的边。

      u第二和第三个问题是相互联系和影响的。一般使用一维数组表示集合，由于集合U与集合S是互补的，因此只需要一个数组就将集合S和集合U表达出来,我们用一维数组S表示

            Ø当S中的某个元素S[i]≠0时表示对应顶点i属于集合S，即还未处理。

            Ø当S[i]=0时，表示对应顶点i属于集合U，即已经处理过。

            Ø我们用数组S[i]的值表示当前状态下顶点vi的最小权值，即未处理的点i到已经处理的点的当前最短距离。

      如何根据(u,v)＝min{w(u,v)；u∈U，v∈S }求最小权值的边(u，v)呢？直接在数组S中求权值最小的元素，其对应顶点即为v，为了找到与v其相邻的另一顶点u，需要设置一个数组P表示与v相邻的另一顶点在生成树中是v的双亲节点。其含义是:

      如果 P[i]=k，则表示顶点i的双亲节点k，也就是说二元组(P[i],i)表示一条边，我们用P[i]这个数组存储S[i]对应的连接情况，即S[i]>=0时，P[i]中存储当前最小权值的连接情况。

五、Java代码

<span style="color:#000000;">private int minCost(double S[]){        int vertexnum = graph.vertexCount();        double mincost = Double.MAX_VALUE;//初始化最小值        int min_v=-1;//初始化最小值对应的节点        for(int j=0;j<vertexnum;j++){                if(S[j] < mincost && S[j] != 0){//进行更新                        mincost = S[j];                        min_v = j;                }        }        return min_v;//返回最短的坐标}public void prim(Graph graph, intv0, Graph tree){      intvertexNum=graph.vertexCount();          inti,j,u;      double[]S=new double[vertexNum];//建立S[]数组      int[] P=new int[vertexNum];//建立P[]数组      for(i=0;i<vertexNum;i++){          //初始化S[]为源点到其他各点的长度，P[]为其他各未处理点到已处理点的最短距离           S[i]=graph.getWeight(v0,i);                  P[i]=v0;      }      S[v0]=0;           P[v0]=-1;//将源点的信息进一步初始化，即已经处理过，标记S[v0]=0，P[v0]=-1；      //循环直到集合S的所有顶点处理完毕      for(i=1;i<vertexNum;i++){      //在数组S中寻找当前最小权值的边的顶点,-1表示所有顶点处理完毕      u=minCost(S);//寻找未处理点中到已经处理过的点的距离最小的那个       if(u==-1)//未寻找到，所有的都已处理完毕，退出         break;       tree.addEdge(P[u],u,S[u]);//将最小权值的边插入到生成树中       S[u]=0;//将顶点u移入到集合U中       for (j=0;j<vertexNum;j++){ //更新数组S和P      doublew_uj=graph.getWeight(u,j);//已经寻找的点到其他各点的距离      if(w_uj<S[j]){//某点到已处理点的距离大于某点到该点的距离，进行更新      S[j]=w_uj;  //更新S[j]      P[j]=u;       //更新P[j]      }       }      }}</span>