双连通分量

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[点连通度与边连通度]

在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。

[双连通图、割点与桥]

如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。双连通分量分两种，一种是删除一条边仍然连通的，叫做边连通分量，以桥为分割，另外一个是删除一个点仍然连通，叫点连通分量，下面分开来讲。边双连通分量：其实把所有的桥都找出来就可以进行划分了，由于在计算连通分量的tarjan算法中，如果两个点是在同一个边连通分量中，那么他们的low值是一样的，所以就可以直接通过tarjan算法求出所有的low值，然后判断low值是否相同就可以判断是否在同一个边连通分量中。点双连通分量：在计算点连通分量的算法中，是以割点为分界的，和边连通分量的求法差不多，不过需要多增加一个栈来记录经过的点，并且要注意和强连通分量所用的栈的不同，在点连通分量中，割点是可以在多个点连通分量中的，所以这里的退栈是有一些地方。

[双连通分支]

在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’为双连通子图。如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集，则G’为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。

[求割点与桥]

该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号(等价于时间戳)。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点的序号。根据定义，则有：

Low(u)=Min
{
DFS(u)
DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v)