双连通分量

无向图的双连通分量跟有向图的连通分量有点像。

先说说一些定义。

时间戳：以某个点vi为起点，dfs到的其他点vj的时间。通常用pre表示

连通图：每两个点间都有路径存在的无向图就叫连通图。

割顶(cut vertex)：也叫割点。在某个连通图G中，若去掉某个点i，该图G无法保持所有点连通，那这个点就是割顶。

桥(bridge)：类似的，在某个连通图G中，若去掉某个边e，该图G无法保持所有点连通，那这个边就叫桥。

点-双连通：

若一个无向图的点两两间都有两条不相交（经过的点不一样）的路径，那么我们就称这个无向图是点-双连通的。条件等价于任意两条边都在一个简单环内。

不难发现，若一个无向图是点-双连通图，那么就代表这个图内部无割顶（既然有两条不相交的路径，去掉任何一个点都还是可以连通的）。

边-双连通：

类似的，若一个无向图的点两两间都有两条不重合（这个要求低一点，点可以重复，但边不行）的路径，那么我们就称这个无向图是边-双连通的。

在边-双连通图中，去掉任何一条边，这个图都还是连通的。

下面进入正题：

​ 对于一张无向图，它的点-双连通的极大子图称为双连通分量(Biconnected Component,BCC)。

​ 而边-双连通的极大子图称为边-双连通分量(edge-biconnected component)。

​ 如上图：虽然{3,4,5}也是点-双连通的，但{3,4,5,6,7}才叫双连通分量，这就是极大子图的意义。另外一个双连通分量是{1,2,3}。还有，整个图{1,2,3,4,5,6,7,8}是边-双连通分量。

​ 还如上图：对于整个图来说，3是割顶。不难发现作为割顶的点会同时存在于多个双连通分量里。而其他点只可能存在于一个双连通分量里。

​ 找连通分量首先要会找割顶。

​ 随便找一个点作为根，强行把无向图转换为一棵树。连回祖先的边我们叫它反向边（要与有向图的反向边区分开）。

​ 不难发现：若某个点v的后代都没有反向边连回v的祖先，那么就可以得出v是割顶的结论。

​ 用时间戳就可以知道祖孙关系。

​ 若发现某个点的后代最多只能连回它自己，则说明这个点及它的后代就是一个双连通分量。

​ 注意：用反向边更新时，不能用连回父亲的边，这条边没意义。

例题：UVaLive3523（这里题解）