图（上）

       今天来分享一下图，这是一种比较复杂的非线性数据结构，之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的，而不像树那样

被几个性质定理框住了，元素之间的关系还是比较明显的，图的使用范围很广的，比如网络爬虫，求最短路径等等，不过大家也不要胆怯，

越是复杂的东西越能体现我们码农的核心竞争力。

      

      既然要学习图，得要遵守一下图的游戏规则。

一： 概念

       图是由“顶点”的集合和“边”的集合组成。记作：G=（V,E)；

<1> 无向图

       就是“图”中的边没有方向，那么（V1,V2)这条边自然跟（V2，V1）是等价的，无向图的表示一般用”圆括号“。

       

<2> 有向图

       “图“中的边有方向，自然<V1,V2>这条边跟<V2,V1>不是等价的，有向图的表示一般用"尖括号"表示。

             

<3> 邻接点

             一条边上的两个顶点叫做邻接点，比如（V1，V2），（V1，V3），（V1，V5），只是在有向图中有一个“入边，出边“的

       概念，比如V3的入边为V5，V3的出边为V2，V1，V4。

<4> 顶点的度

          这个跟“树”中的度的意思一样。不过有向图中也分为“入度”和“出度”两种，这个相信大家懂的。

<5> 完全图

         每两个顶点都存在一条边，这是一种完美的表现，自然可以求出边的数量。

        无向图：edges=n(n-1)/2;

        有向图：edges=n(n-1);           //因为有向图是有边的，所以必须在原来的基础上"X2"。

      

<6> 子图

        如果G1的所有顶点和边都在G2中，则G1是G2的子图，具体不说了。

<7> 路径，路径长度和回路（这些概念还是比较重要的）

       路径：        如果Vm到Vn之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。

       路径长度：  一条路径中“边的数量”。

       简单路径：  若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。

       回路：       若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。

       简单回路：  第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。

<8> 连通图和连通分量（针对无向图而言的）

       连通图：     无向图中，任意两个顶点都是连通的则是连通图，比如V1，V2，V4之间。

       连通分量：  无向图的极大连通子图就是连通分量，一般”连通分量“就是”图“本身，除非是“非连通图”，

                       如下图就是两个连通分量。

           

<9> 强连通图和强连通分量（针对有向图而言）

        这里主要注意的是“方向性“，V4可以到V3，但是V3无法到V4，所以不能称为强连通图。

      

<10> 网

        边上带有”权值“的图被称为网。很有意思啊，呵呵。

二：存储

     图的存储常用的是”邻接矩阵”和“邻接表”。

     邻接矩阵： 手法是采用两个数组，一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息，

                    缺点就是比较耗费空间。

     邻接表：   改进后的“邻接矩阵”，缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相比节省空间。

三： 创建图

     这里我们就用邻接矩阵来保存图，一般的操作也就是：①创建，②遍历

 1 #region 邻接矩阵的结构图 2     /// <summary> 3 /// 邻接矩阵的结构图 4 /// </summary> 5     public class MatrixGraph 6     { 7         //保存顶点信息 8         public string[] vertex; 9 10         //保存边信息11         public int[,] edges;12 13         //深搜和广搜的遍历标志14         public bool[] isTrav;15 16         //顶点数量17         public int vertexNum;18 19         //边数量20         public int edgeNum;21 22         //图类型23         public int graphType;24 25         /// <summary>26 /// 存储容量的初始化27 /// </summary>28 /// <param name="vertexNum"></param>29 /// <param name="edgeNum"></param>30 /// <param name="graphType"></param>31         public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)32         {33             this.vertexNum = vertexNum;34             this.edgeNum = edgeNum;35             this.graphType = graphType;36 37             vertex = new string[vertexNum];38             edges = new int[vertexNum, vertexNum];39             isTrav = new bool[vertexNum];40         }41 42     }43     #endregion

<1> 创建图很简单，让用户输入一些“边，点，权值"来构建一下图

 1  #region 图的创建 2         /// <summary> 3 /// 图的创建 4 /// </summary> 5 /// <param name="g"></param> 6         public MatrixGraph CreateMatrixGraph() 7         { 8             Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。"); 9 10             var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();11 12             MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);13 14             Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");15 16             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)17             {18                 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");19 20                 var single = Console.ReadLine();21 22                 //顶点信息加入集合中23                 graph.vertex[i] = single;24             }25 26             Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");27 28             for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)29             {30                 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");31 32                 initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();33 34                 int start = initData[0];35                 int end = initData[1];36                 int weight = initData[2];37 38                 //给矩阵指定坐标位置赋值39                 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;40 41                 //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称42                 if (graph.graphType == 1)43                 {44                     graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;45                 }46             }47 48             return graph;49         }50         #endregion

<2>广度优先

      针对下面的“图型结构”，我们如何广度优先呢？其实我们只要深刻理解"广搜“给我们定义的条条框框就行了。 为了避免同一个顶点在遍历时被多

次访问，可以将”顶点的下标”存放在sTrav[]的bool数组，用来标识是否已经访问过该节点。 

    第一步：首先我们从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。

    第二步：访问V1的邻接点V2，V3，V5，并将这三个节点标记为true。

    第三步：第二步结束后，我们开始访问V2的邻接点V1，V3，但是他们都是被访问过的。

    第四步：我们从第二步结束的V3出发访问他的邻接点V2，V1，V5，V4，还好V4是未被访问的，此时标记一下。

    第五步：我们访问V5的邻接点V1，V3，V4，不过都是已经访问过的。

    第六步：有的图中通过一个顶点的“广度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-5）的步骤就可以最终完成广度优先遍历。

               

 1 #region 广度优先 2         /// <summary> 3 /// 广度优先 4 /// </summary> 5 /// <param name="graph"></param> 6         public void BFSTraverse(MatrixGraph graph) 7         { 8             //访问标记默认初始化 9             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)10             {11                 graph.isTrav[i] = false;12             }13 14             //遍历每个顶点15             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)16             {17                 //广度遍历未访问过的顶点18                 if (!graph.isTrav[i])19                 {20                     BFSM(ref graph, i);21                 }22             }23         }24 25         /// <summary>26 /// 广度遍历具体算法27 /// </summary>28 /// <param name="graph"></param>29         public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)30         {31             //这里就用系统的队列32             Queue<int> queue = new Queue<int>();33 34             //先把顶点入队35             queue.Enqueue(vertex);36 37             //标记此顶点已经被访问38             graph.isTrav[vertex] = true;39 40             //输出顶点41             Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);42 43             //广度遍历顶点的邻接点44             while (queue.Count != 0)45             {46                 var temp = queue.Dequeue();47 48                 //遍历矩阵的横坐标49                 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)50                 {51                     if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)52                     {53                         graph.isTrav[i] = true;54 55                         queue.Enqueue(i);56 57                         //输出未被访问的顶点58                         Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);59                     }60                 }61             }62         }63         #endregion

<3> 深度优先

        同样是这个图，大家看看如何实现深度优先，深度优先就像铁骨铮铮的好汉，遵循“能进则进，不进则退”的原则。

        第一步：同样也是从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。

        第二步：然后一直访问V1的邻接点，一直到走头无路的时候“回溯”，路线为V1,V2,V3,V4,V5，到V5的时候访问邻接点V1，发现V1是访问过的，

                   此时一直回溯的访问直到V1。

        第三步： 同样有的图中通过一个顶点的“深度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-2）的步骤就可以最终完成深度优先遍历。

             

 1 #region 深度优先 2         /// <summary> 3 /// 深度优先 4 /// </summary> 5 /// <param name="graph"></param> 6         public void DFSTraverse(MatrixGraph graph) 7         { 8             //访问标记默认初始化 9             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)10             {11                 graph.isTrav[i] = false;12             }13 14             //遍历每个顶点15             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)16             {17                 //广度遍历未访问过的顶点18                 if (!graph.isTrav[i])19                 {20                     DFSM(ref graph, i);21                 }22             }23         }24 25         #region 深度递归的具体算法26         /// <summary>27 /// 深度递归的具体算法28 /// </summary>29 /// <param name="graph"></param>30 /// <param name="vertex"></param>31         public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)32         {33             Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);34 35             //标记为已访问36             graph.isTrav[vertex] = true;37 38             //要遍历的六个点39             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)40             {41                 if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)42                 {43                     //深度递归44                     DFSM(ref graph, i);45                 }46             }47         }48         #endregion49         #endregion

最后上一下总的代码

View Code

  1 using System;  2 using System.Collections.Generic;  3 using System.Linq;  4 using System.Text;  5   6 namespace MatrixGraph  7 {  8     public class Program  9     { 10         static void Main(string[] args) 11         { 12             MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager(); 13  14             //创建图 15             MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph(); 16  17             manager.OutMatrix(graph); 18  19             Console.Write("广度递归:\t"); 20  21             manager.BFSTraverse(graph); 22  23             Console.Write("\n深度递归:\t"); 24  25             manager.DFSTraverse(graph); 26  27             Console.ReadLine(); 28  29         } 30     } 31  32     #region 邻接矩阵的结构图 33     /// <summary> 34 /// 邻接矩阵的结构图 35 /// </summary> 36     public class MatrixGraph 37     { 38         //保存顶点信息 39         public string[] vertex; 40  41         //保存边信息 42         public int[,] edges; 43  44         //深搜和广搜的遍历标志 45         public bool[] isTrav; 46  47         //顶点数量 48         public int vertexNum; 49  50         //边数量 51         public int edgeNum; 52  53         //图类型 54         public int graphType; 55  56         /// <summary> 57 /// 存储容量的初始化 58 /// </summary> 59 /// <param name="vertexNum"></param> 60 /// <param name="edgeNum"></param> 61 /// <param name="graphType"></param> 62         public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType) 63         { 64             this.vertexNum = vertexNum; 65             this.edgeNum = edgeNum; 66             this.graphType = graphType; 67  68             vertex = new string[vertexNum]; 69             edges = new int[vertexNum, vertexNum]; 70             isTrav = new bool[vertexNum]; 71         } 72  73     } 74     #endregion 75  76     /// <summary> 77 /// 图的操作类 78 /// </summary> 79     public class MatrixGraphManager 80     { 81         #region 图的创建 82         /// <summary> 83 /// 图的创建 84 /// </summary> 85 /// <param name="g"></param> 86         public MatrixGraph CreateMatrixGraph() 87         { 88             Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。"); 89  90             var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList(); 91  92             MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]); 93  94             Console.WriteLine("请输入各顶点信息："); 95  96             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 97             { 98                 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:"); 99 100                 var single = Console.ReadLine();101 102                 //顶点信息加入集合中103                 graph.vertex[i] = single;104             }105 106             Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");107 108             for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)109             {110                 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");111 112                 initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();113 114                 int start = initData[0];115                 int end = initData[1];116                 int weight = initData[2];117 118                 //给矩阵指定坐标位置赋值119                 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;120 121                 //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称122                 if (graph.graphType == 1)123                 {124                     graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;125                 }126             }127 128             return graph;129         }130         #endregion131 132         #region 输出矩阵数据133         /// <summary>134 /// 输出矩阵数据135 /// </summary>136 /// <param name="graph"></param>137         public void OutMatrix(MatrixGraph graph)138         {139             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)140             {141                 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)142                 {143                     Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t");144                 }145                 //换行146                 Console.WriteLine();147             }148         }149         #endregion150 151         #region 广度优先152         /// <summary>153 /// 广度优先154 /// </summary>155 /// <param name="graph"></param>156         public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)157         {158             //访问标记默认初始化159             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)160             {161                 graph.isTrav[i] = false;162             }163 164             //遍历每个顶点165             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)166             {167                 //广度遍历未访问过的顶点168                 if (!graph.isTrav[i])169                 {170                     BFSM(ref graph, i);171                 }172             }173         }174 175         /// <summary>176 /// 广度遍历具体算法177 /// </summary>178 /// <param name="graph"></param>179         public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)180         {181             //这里就用系统的队列182             Queue<int> queue = new Queue<int>();183 184             //先把顶点入队185             queue.Enqueue(vertex);186 187             //标记此顶点已经被访问188             graph.isTrav[vertex] = true;189 190             //输出顶点191             Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);192 193             //广度遍历顶点的邻接点194             while (queue.Count != 0)195             {196                 var temp = queue.Dequeue();197 198                 //遍历矩阵的横坐标199                 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)200                 {201                     if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)202                     {203                         graph.isTrav[i] = true;204 205                         queue.Enqueue(i);206 207                         //输出未被访问的顶点208                         Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);209                     }210                 }211             }212         }213         #endregion214 215         #region 深度优先216         /// <summary>217 /// 深度优先218 /// </summary>219 /// <param name="graph"></param>220         public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)221         {222             //访问标记默认初始化223             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)224             {225                 graph.isTrav[i] = false;226             }227 228             //遍历每个顶点229             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)230             {231                 //广度遍历未访问过的顶点232                 if (!graph.isTrav[i])233                 {234                     DFSM(ref graph, i);235                 }236             }237         }238 239         #region 深度递归的具体算法240         /// <summary>241 /// 深度递归的具体算法242 /// </summary>243 /// <param name="graph"></param>244 /// <param name="vertex"></param>245         public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)246         {247             Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);248 249             //标记为已访问250             graph.isTrav[vertex] = true;251 252             //要遍历的六个点253             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)254             {255                 if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)256                 {257                     //深度递归258                     DFSM(ref graph, i);259                 }260             }261         }262         #endregion263         #endregion264 265     }266 }

代码中我们构建了如下的“图”。