数论总结帖
来源:互联网 发布:惠州网络推广文案 编辑:程序博客网 时间:2024/06/18 18:49
欧拉函数:
用途:对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
通式:
,其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D344/sign=da2dc03b1a950a7b713548c03ed1625c/6a600c338744ebf88c69ff32def9d72a6059a7a7.jpg)
若n是质数p的k次幂,
,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D211/sign=8a21a419ac18972ba73a07cbd7cd7b9d/f9198618367adab410da834e8cd4b31c8701e4b1.jpg)
中国剩余定理
鸽巢原理(抽屉原理):
鸽巢原理,又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。
其中一种简单的表述法为:
若有n个笼子和n+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。
另一种为:
若有n个笼子和kn+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。
如果要把n个物件分配到m个容器中,必有至少一个容器容纳至少⌈n / m⌉个物件。(⌈x⌉大于等于x的最小的整数)
容斥原理:
容斥原理又称排容原理,在组合数学里,其说明若, ...,
为有限集,则
其中表示
的基数。例如在两个集的情况时,我们可以透过将
和
相加,再减去其交集的基数,而得到其并集的基数。
也可以写成:
- 特殊情况:
如果在容斥原理的概率形式中,交集AI的概率只与I中元素的个数有关,也就是说,对于{1, ..., n}中的每一个k,都存在一个ak,使得:
,对于每一个
则以上的公式可以简化为:
欧几里得:
扩展欧几里得:
莫比乌斯:
线性同余:
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