青蛙的约会----扩展欧几里得+乘法逆元

来源：互联网发布：银行卡余额查询软件编辑：程序博客网时间：2024/05/18 03:54

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

Source

浙江

此题是扩展欧几里得+辗转相除法+乘法逆元

辗转相处法又称欧几里得算法

void GCD(int a,int b){    return b==0?a:GCD(b,a%b);}

至于原理很简单，自己推一下就出来了，这里不做重点=_=

然后是扩展欧几里得，比起欧几里得只是用式子推就OK，并没有什么特别的概念

附上大神的证明吧，大神已经讲的很明白了

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; //大神这里写的很简单，建议自己从纸上推一遍，其实就是很简单。。。。

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

自己的扩欧的模板（递归）

void exGCD(long long a,long long b,long long &x,long long &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return ;    }    exGCD(b,a%b,x,y);    long long tmp=x;    x=y;    y=tmp-a/b*y;}

（非递归的我也没有搞懂。。。）不过大神搞懂了，我贴上他的代码

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) 2 { 3     int x1,y1,x0,y0; 4     x0=1; y0=0; 5     x1=0; y1=1; 6     x=0; y=1; 7     int r=m%n; 8     int q=(m-r)/n; 9     while(r)10     {11         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;12         x0=x1; y0=y1;13         x1=x; y1=y;14         m=n; n=r; r=m%n;15         q=(m-r)/n;16     }17     return n;18 }

这里特附上大神的网址：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

至于乘法逆元，对于初学者来说概念比较难懂，建议多看点资料，然后淡定两天，自己就懂了======（当时搞了我好久，QAQ大大都快急了，不过有的时候把知识点放一放，回来再看就会发现豁然开朗！再次膜拜QAQ）

再次贴上大神对逆元的解释（大神就是厉害！解释的很清楚）

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

对于这个题来说，用a*x+b*y==c的求解可以先求出a*x+b*y=gcd(a,b),然后将x y扩大c/gcd(a,b)倍就可以了。懂了前置技能后就简单了

这个题是我接触数论做的真正的纯数论第三个题（第一个是欧拉筛，第二个是唯一分解定理），搞了我将近一个星期，虽说当时a掉了这个题，但在当时也只是知道乘法逆元的求法，过了好多天回头再看的时候才彻底搞懂了逆元的含义，前两天太燥了啊，数论挺难懂得，但懂了之后也就那么回事，但是我还差的好远，继续努力！！！

渣渣的代码：

#include <cstdio>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdlib>using namespace std;void exGCD(long long a,long long b,long long &x,long long &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return ;    }    exGCD(b,a%b,x,y);    long long tmp=x;    x=y;    y=tmp-a/b*y;}int main(){    long long x,y,m,n,l,k1,k2;    while(cin>>x)    {        cin>>y>>m>>n>>l;        long long c=x-y;        long long a=n-m;        long long r=__gcd(a,l);        if(c%r)        {            cout<<"Impossible"<<endl;            continue;        }        a/=r;        l/=r;        c/=r;        exGCD(a,l,k1,k2);        //long long ans=c*k1-c*k1/l*l;        long long ans=k1*c/__gcd(a,l);           long long s=l/__gcd(a,l);        long long h;        if(ans>0)        {            h=ans%s;        }        else        {            h=ans%s+s;        }        printf("%lld\n",h);    }    return 0;}

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