陶哲轩实分析-第7章级数

来源：互联网发布：汽车找不到导航软件编辑：程序博客网时间：2024/05/17 23:17

7.1 有限级数

习题
7.1.1没想到连这个也是要证明的，数学这么严谨啊！
(a)对于n归纳
如果n=m，根据定义7.1.1，左边等于

a m + \sum i = m + 1 p a i = a m + a m + 1 + . . . + a n = \sum i = m p a i

如果n成立，也就是

\sum i = m n a i + \sum i = n + 1 p a i = \sum i = m p a i

那么

\sum i = m n + 1 a i + \sum i = n + 2 p a i = \sum i = m p a i - a n + 1 + a n + 1

证明完成
(b)
都等于

am+am+1+...+an
(c)对n归纳，如果n=m，那么两边都等于

am+bm
归纳假定n成立，那么对于n+1

\sum i = m n + 1 (a i + b i) = \sum i = m n a i + \sum i = m n b i ＋ (a n + 1 + b n + 1) = \sum i = m n + 1 a i + \sum i = m n + 1 b i

(d)对n归纳
(e)对n归纳
n=m，等号成立，归纳假定n成立，那么

| \sum i = m n + 1 a i | = | \sum i = m n a i + a i + 1 | \leq \sum i = m n + 1 | a i |

(f)对n归纳

7.1.2
(a)空的，0显然
(b)g(1)=x0
(c)g(y),y∈Y就是X中全部元素。
(d)g(i)=n+i-1，然后用引理7.1.4(b)，并根据命题7.1.8，任何一个双射都可以。
(e)设X有m个元素，Y有n个，那么

\sum f (x) + \sum f (y) = \sum i = 1 m f (g (i)) + \sum i = 1 n f (h (i))

令

g′(i)=g(i),i≤m,g′(i)=h(i−m),i>m，那么右边等于

∑m+ni=1f(g′(i))
(f)
类似(e)寻找g’(i)
(g)
直接用定义证明
(h) 对n归纳
(i) 对n归纳

7.1.3
定义7.1.1->

\prod i = m n a i = 1, 如 果 n < m

\prod i = m n + 1 a i = (\prod i = m n a i) a i + 1

注7.1.2，7.1.3完全类似
引理7.1.4
大部分都是+变x，

∑变∏
(d)等号右边c变(n-m-1)次方
(e)小于等于变等于
定义7.1.6类似
命题7.1.8类似
命题7.1.11类似

7.1.4
n=0两边都是1
归纳假定n成立，那么

(x + y) n + 1 = (x + y) \sum j = 0 n n ! j ! ( n - j ) ! x j y n - j

7.1.5
归纳考虑X的基数为1，那么X只有一个元素x，那么结论成立。
归纳假定X的基数为n的情况下成立

lim n \to \infty \sum x \in X a n (x) = \sum x \in X lim n \to \infty a n (x)

那么考虑

Y=X∪y，

lim n \to \infty \sum x \in Y a n (x) = lim n \to \infty (\sum x \in X a n (x) + a n (y)) = \sum x \in X lim n \to \infty a n (x) + lim n \to \infty a n (y) = \sum x \in Y lim n \to \infty a n (x)

7.2 无限级数

习题
7.2.1
前n项和为
-1,0,-1,0,…
这个序列是发散的，对于0和-1都不是1/2接近的。所以不能赋予任何实数值。
或者利用推论7.2.6，序列不趋于0.

7.2.2 考虑序列bn=∑ni=mai并根据提示，bn是Cauchy序列等价于收敛。

7.2.3
命题7.2.5中取p=q完成证明。

7.2.4根据提示，这个结论就是显然的了。对于任意ε，存在N满足p,q≥N则∑qn=p|an|≤ε而|∑qn=pan|≤∑qn=p|an|

7.2.5 7.2.14
(a)

\sum n = m \infty (a n + b n) = lim N \to \infty \sum n = m N (a n + b n)

\sum n = m \infty a n + \sum n = m \infty b n = lim N \to \infty \sum n = m N a n + lim N \to \infty \sum n = m N b n = lim N \to \infty \sum n = m N (a n + b n)

(b)

\sum n = m \infty c a n = lim N \to \infty \sum n = m N c a n = c lim N \to \infty \sum n = m N a n = c \sum n = m \infty a n

(c)根据极限定义和级数定义
(d)令n-k=j

7.2.6考虑

\sum n = 0 N (a n - a n + 1) = a 0 - a N + 1

考虑

bn=a0−an+1由于

limn→∞an=0，所以

bn收敛到

7.3 非负实数的和

习题
7.3.1
∑an≤∑bn≤M，所以a收敛

7.3.2
如果|x|≥1，级数项不趋于0，所以不收敛。
如果|x|≤1，那么bn=∑ni=0xn=1−xn+11−x。根据引理6.5.2，bn收敛到1/(1−x)，结论得证。

7.3.3

7.4 级数的重排

习题
7.4.1由于绝对收敛，那么考虑所有an≥0即可
设an收敛到L，只需要证明对于任意ε，存在M，序列∑∞m=Maf(m)≤ε。
由于an收敛到L，那么对于任意ε，存在N，使得序列∑∞n=Nan≤ε。
取M满足f(M)>N，根据f为严格增函数，那么如果m>M，则f(m)>N。那么∑∞m=Mam=∑∞n=Nan−∑m∈Xan，其中X=x:x>N，x∉f(m)(m>M)，根据假定an≥0，那么∑∞m=Mam≤∑∞n=Nan≤ε。证明完成。

7.5 方根判别法与比例判别法

习题
7.5.1 与书中给出的证明完全类似。

7.5.2 用方根判别法

lim n \to \infty | x q x n | 1 n = | x lim n \to \infty (x q) 1 n | = | x | （ 引 理 6.5.3 ） < 1

证明完成。

7.5.3
1,12,13...
1,14,19...

0 0