陶哲轩实分析-第6章-序列的极限

6.1 收敛及极限的算律

习题

6.1.1
对m归纳，对于m=n+1，am>an，归纳假定对于某个k成立，ak>an，那么ak+1>ak>an

6.1.2
没明白这道题的意思，感觉显然呀

6.1.3
根据收敛的定义，对于每个ε，都存在N使得大于N的an与cε接近。这个N对于两个实数列都满足。

6.1.4
类似6.1.3

6.1.5
考虑an收敛到c，那么对于任意ε，存在N，满足对于n≥N，|an−c|≤ε/2，那么对于m,n≥N，满足|am−an|≤|am−c|+|an−c|≤ε

6.1.6
反证法，假定an不是终极ε接近L的，那么，对于任意M，都存在n>M，使得an>L+ε或者an<L−ε，又因为an为Cauchy序列，那么对于ε/2，存在N>M，满足对于任意m,n>N，使得|an−am|≤ε/2，这样，对于任意n>N，an>L+ε/2或者an<L−ε/2，与an收敛到L矛盾。
一开始感觉后面提示有点问题，不应该是使得对于一切n>N，应该是存在某个n>N，后来发现自己理解有误。

6.1.7
证明过程类似命题6.1.4的证明，因为比例数是实数，所以若5.1.2则6.1.16。若6.1.16，由于对于任意实数x存在大于x自然数N，而N是比例数，那么以x为界必然以N为界。证明完成。

6.1.8
(a)对任意ε存在M，当n>M，|an−x|≤ε/2；存在N，当n>N，|bn−y|≤ε/2，那么对于n>max(M,N)，|an+bn−(x+y)|≤ε，上面结论对于任意ε成立。证明完成
(b)设an上界为p，对任意ε存在M，当n>M，|anbn−xy|≤|an(bn−y)+(an−x)y|≤pε+yε=(p+y)ε。(p+y)ε可以任意小，证明完成。
(c)考虑c等于{c,c,…}，利用(b)
(d)a-b=a+(-1)*b
(e)设bn上界为p，对任意ε存在M，当n>M，|b−1n−y−1|=|bn−y|/(ybn)≤ε/(yp)，最后一个式子可以任意小，证明完成。
(f)a/b=a∗b−1
(g)不妨设x<y，令ε=(y−x)/4那么存在M，使得n>M则an<x+ε，bn>y−ε，这样limmax(an,bn)=limbn=y
(h)类似(g)

6.1.9
因为除0没有意义啊。

6.1.10
类似证明6.1.7。

6.2 广义实数系

6.2.10确实非常神奇，E为空集，sup(E):=−∞，而inf(E):=∞，因为根据定义5.5.10，空集的sup为−∞，而定义inf=-sup。

习题

6.2.1
实数的情况为命题5.4.7，只需要考虑∞和−∞
(a)对于∞和−∞都成立
(b)对x和y分别为实数和∞和−∞，分9种情况
(c)3*3*3=27种情况？
(d)对x和y分别为实数和∞和−∞，分9种情况

6.2.2
(a)如果x只包含实数，那么根据上界的定义满足x≤sup(E)，如果x包含∞，上界为∞，对于任意数满足x≤∞。如果x包含−∞，跟只包含实数相同。
这本书中定义的inf感觉复杂了，如果类似sup定义下界为满足小于所有E元素的数，那么证明x≥inf(E)就跟上面的证明完全一样了。
(b)对于实数，根据上界大于等于上确界。对于∞和−∞，分情况容易证明。
(c)类似(b)

6.3 序列的上确界和下确界

习题

6.3.1
因为对于任意ε，都能找到1/ε使得大于这个数的n比ε小，所以任意正数都不是下界，所以下确界是0。

6.3.2
前面部分就是6.2.11的结论，对于后面的存在n≥m满足y<an≤x。需要证明序列收敛到这个上确界x=sup(an)。对于任意ε，x−ε都不是序列的上界，那么存在N，使得aN>x−ε，由于序列单调增，那么对于所有n>N，满足an>x−ε，也就是x−an<ε，证明完成。

6.3.4
x>1时序列发散，也就是不收敛到某个实数，那么就没法完成6.3.10中的过程。而1/x<1，(1x)n可以任意小，那么xn可以任意大，那么发散。
例1.2.3的问题在于序列发散，那么没有一个数等于这个序列和，所以假定这个序列和等于某个数是不可以的。而广义实数系的无穷大不可以进行算术运算。

6.4 上极限、下极限和极限点

上极限和下极限感觉很难理解，看过很多书里面的讲解（数学分析原理、欧氏空间勒贝格积分、数学分析新讲），这本书是讲的最好的，最容易理解了。

习题

6.4.1
因为an收敛到c，那么对于任意ε，存在N，如果n>N，则|an−c|≤ε，既然全部满足，当然存在一点满足，所以是极限点。如果还有另一个点d不等于c，令ε=|(d−c)/4|，可以找到某个N，使得大于N的数都位于c的ε领域，这样N以后找不到d的ε附着点，与d是极限点矛盾。

6.4.2
证明的思路就是，前面有限个元素去掉不影响结果。

6.4.3
(a) 作为书上证明的一个解释
考虑序列bn=a+n=sup(ak)∞k=n，那么L+=limn→∞bn。根据极限定义，对于任意x>L+，存在N，当n≥N时，bn≤x，那么an≤bn≤x。下确界相关命题类似证明。

(b) 作为书上证明的一个解释
类似上面说的，考虑序列bn=a+n=sup(ak)∞k=n，其它类似。

(c)第一个不等号与最后一个类似，略

L−≤L+

inf(an)≤sup(an)，两边取极限即可，或者用归纳法。

L+≤sup(an)∞n=m

可以用归纳法，因为sup(an)∞n=m≥sup(an)∞n=m+1。

(d)
反证法，如果c>L+，考虑ε=(c−L+)/2，根据命题(a)，对于某个N以后，没有元素与cε接近，矛盾。c<L−类似。

(e)
根据命题6.3.6，对于任意ε，都存在L+−ε≤an≤L+

(f)
an收敛到c，则对于任意ε，存在N，满足n≥N则|an−c|≤ε（收敛定义），这样，根据收敛定义，a+N收敛到c。
如果L+=L−=c，那么对于任意ε，存在N，满足n≥N则|an−c|≤ε（命题a），那么根据收敛定义，an收敛到c。

6.4.4
bn≤sup(bn)，那么
an≤sup(bn)，那么sup(bn)为(an)上界，那么最小上界小于等于上界，证明完成。
inf类似
无穷大的情况能不能用归纳法证明？

6.4.5结合引理6.4.13和命题6.4.12(f)容易证明。

6.4.6
{0,1/2,2/3,3/4,4/5,…}
{1,1,1,}
虽然每一项都严格小于，最后极限确实等于，因为有理数序列可能收敛到非有理数

6.4.7
|an−0|≤ε<=>||an|−0|≤ε，证明完成。
把0换成其它数，上面结论显然不成立。

6.4.8
首先证明limsupan=∞，因为没有上界，那么对于任意L，都存在n>N,an>L，那么序列supan没有上界。而an没有上界，那么根据定义，以∞为极限点。

6.4.9
1, 1/2, -3, 4, 1/5, -6

6.4.10
c是bn的极限点，那么对于任意ε，任意N，存在n>N，满足|bn−c|≤ε/2，而b_n是an的极限点，那么存在m>N，满足|am−bn|≤ε/2，这样|am−c|≤|bn−c|+|am−bn|≤ε

6.5 某些基本的极限

习题
6.5.1
令q=a/b，那么limn→∞1nab=limn→∞(1n1b)a=(limn→∞1n1b)a=0
如果nq存在并且等于a，那么有a*0=1，矛盾。

6.5.2
如果x=0，那么序列就是0,0,0，显然收敛到0
如果0 < x < 1，那么根据命题6.3.10，limn→∞xn=0，那么limn→∞−xn=0，而−xn≤(−x)n≤xn，根据挤压判别法，对于-1 < x < 0，极限也是0。
对于x=1，那么序列就是1,1,1，显然收敛到0
对于x=-1，那么序列为1,-1,1,-1，对于1和-1都不是终极1/2接近的。
对于x>1或x<-1，可以序列大于任意大的数，类似例6.4.15。

6.5.3 没有提示还真不知道改怎么证。
对于x=1，显然。
对于x>1，对于任意ε>0，由于(1+ε)n发散，所以存在n，满足(1+ε)n>x，证明完成。
对于x<1，对于任意ε>0，由于(1−ε)n收敛到0，所以存在n，满足(1−ε)n<x，证明完成。

6.6 子序列

本章最后的Bolzano-Weierstrass定理关键在于上界的定义是小于等于，如果是小于就不行了。

6.6.1
自反性，考虑f(n)=n
传递性，考虑如果f、g是严格增的，那么f(g(n))也是严格增的。

6.6.2
1 2 1 2 1 2…
2 1 2 1 2 1…

6.6.3
{n∈N:|an|≥j}如果为空，那么序列以j为界，与序列无界矛盾。那么|anj|≥j，那么1/|anj|≤1/j，而1/n极限为0，那么根据夹挤定理，1/bn极限为0。

6.6.4
(b)->(a)
因为an是an的子序列，证明完成。
(a)->(b)
an收敛，则对于任意ε，存在N满足n≥N则|an−L|≤ε。那么对于任意子序列anj，只要nj≥N，就有|anj−L|≤ε。也就是收敛到L。

6.6.5
(a)->(b)
这样的序列有很多，只需要找到一个就行，书中提示是持续找到ε=1/j附着于L的元素的序列，对每一个j=1,2,3…都可以找到。
(b)->(a)
对于任意ε，存在M，只要n≥M，就有|an−L|≤ε，那么对于任意N，只要n≥max(M,N)，就有|an−L|≤ε，这样按照极限点的定义完成了证明。

6.7 实的指数运算，第2部分

习题
6.7.1
(a)xq正

(b)(xq)r=xqr
xqr=limxqmrn
lim(limxqm)rn，里面的极限有界，去掉括号可得结论。

(c)x−q=1/xq
x−q=limx−qn=lim1/xqn根据定理6.1.19(e)得出结论。

(d)q>0，x>y <=> xq>yq
xqn>yqn，所以极限大于等于，容易证明不能等于

(e)x>1 xq>xr<=>q>r
xqn>xrn，所以极限大于等于，容易证明不能等于
x<1 xq>xr<=>q<r，同上。