NOIP2006题解
来源:互联网 发布:科学基金网络信息系统 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 07:04
能量项链:
题目大意:有n个珠子串成一个环,每个珠子有头标记和尾标记,每次可以合并任意相邻的两颗珠子i,j,所得的能量为head[i]*head[j]*tail[j],求将n颗珠子合并成一颗的最大能量和。n<=100.
题解:
对于有环的题目,我们一般先拆环为链,变成一条长度为2n的链。然后我们发现最终答案就是在这条长度为2n的链上找到一段长度为n的区间进行操作使得能量和最大。不难想到对于长度为n的区间我们可以看作是找到一段长度为n-1的区间进行操作使得能量和最大,再将这个能量和加上最后两颗珠子合并所得到的能量。同理可以推出n-1,n-2,n-3….2。典型的具有无后效性,于是我们采取DP解题。
由于我们刚才推出的结论与长度有关,因此我们将长度作为第一维循环,于是当我们循环到i时,我们必定知道1~i-1时的每个最优值,于是就转化为经典的区间DP了。
设f[j][j+i-1]代表从第j位到第j+i-1位的最大能量和,则
f[j][j+i-1]=max(f[j][k]+f[k+1][j+i-1]+a[j]*a[k+1]+a[j+i])(j<=k)
#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int n,i,j,k,f[210][210],a[210],ans;int main(){ scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); for(i=n+1;i<=n*2;i++)a[i]=a[i-n]; for(i=2;i<=n;i++) for(j=1;j<=2*n-i;j++) for(k=j;k<j+i-1;k++) f[j][j+i-1]=max(f[j][j+i-1],f[j][k]+f[k+1][j+i-1]+a[j]*a[k+1]*a[j+i]); for(i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i][i+n-1]); printf("%d",ans); return 0;}
金明的预算方案:
题目大意:有n个物品,每个物品有一个价格和重要度,并且有可能有附件(即买了该物品才能买附件),求用不超过m的钱使得所有购买物品的价格*重要度之和最大,n<=60,m<=32000,所有价格(包括m)均为10的倍数,每个物品最多为两个物品的必需品。
题解:
显然可以看出这是一道裸的背包,因为有附件的存在,我们可以用树依赖背包或者普通的带依赖品的背包做,由于这里每个物品最多为两个物品的必需品,我们可以选择用普通的依赖背包做。
由于所有价格都是10的倍数,我们在DP的时候先把所有价格都除以10,最后输出的时候将答案乘10即可。
其实所谓的带依赖品的背包就是分情况讨论一下……分当前物品有一个附件,当前物品有两个附件,和当前物品没有附件三种情况讨论,然后就按普通的01背包做即可。由于找到该物品的附件需要O(n),复杂度太高(虽然这题n才60,是可以过去的),我们选择离散化。时间复杂度:O(n*m/10),空间复杂度:O(m/10)。
#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,v[70][10],p[70][10],a,f[3300],i,j,k,w[70],b,c,cnt,xh[70];int main(){ scanf("%d%d",&m,&n);m/=10; for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); if(c)v[xh[c]][++w[xh[c]]]=a/10,p[xh[c]][w[xh[c]]]=b; else v[++cnt][0]=a/10,p[cnt][0]=b,xh[i]=cnt; } for(i=1;i<=cnt;i++) for(k=m;k>=v[i][0];k--){ f[k]=max(f[k],f[k-v[i][0]]+v[i][0]*p[i][0]); if(w[i]>=1){ if(k>=v[i][0]+v[i][1])f[k]=max(f[k-v[i][0]-v[i][1]]+v[i][0]*p[i][0]+v[i][1]*p[i][1],f[k]); } if(w[i]>=2){ if(k>=v[i][0]+v[i][2])f[k]=max(f[k],f[k-v[i][0]-v[i][2]]+v[i][0]*p[i][0]+v[i][2]*p[i][2]); if(k>=v[i][0]+v[i][1]+v[i][2])f[k]=max(f[k],f[k-v[i][0]-v[i][1]-v[i][2]]+v[i][0]*p[i][0]+v[i][1]*p[i][1]+v[i][2]*p[i][2]); } } printf("%d",f[m]*10); return 0;}
作业调度方案:
题目大意:给你n项作业,m台机器,每项作业都有m个部分,每项作业的每个部分都必须在规定的机器上完成,每项作业的每个部分需要花费一定的时间,每项作业的第i个部分当且仅当第i-1个部分完成了才可进行。每项作业必须安排在规定的机器上可用的时间段中最早的一段,求这么安排的总时间。
题解:
直接模拟即可,它说什么就做什么。
#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,i,j,b[50],jiqi[50][50],shij[50][50],xh[410],cnt[410],k,ans;bool f[50][300],flag;int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); for(i=1;i<=n*m;i++) scanf("%d",&xh[i]); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&jiqi[i][j]); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&shij[i][j]); for(i=1;i<=n*m;i++){ cnt[xh[i]]++; for(j=b[xh[i]]+1;;j++){ flag=1; for(k=j;k<=j+shij[xh[i]][cnt[xh[i]]]-1;k++) if(f[jiqi[xh[i]][cnt[xh[i]]]][k]){ flag=0; break; } if(flag){ for(k=j;k<=j+shij[xh[i]][cnt[xh[i]]]-1;k++)f[jiqi[xh[i]][cnt[xh[i]]]][k]=1; b[xh[i]]=j+shij[xh[i]][cnt[xh[i]]]-1; ans=max(ans,j+shij[xh[i]][cnt[xh[i]]]-1); break; } } } printf("%d",ans); return 0;}
2k进制数
设r是个2k进制数,并满足以下条件:
1.r至少是个2位的2k进制数。
2.作为2k进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
3.将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。
在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k< w≤30000)是事先给定的。
问:满足上述条件的不同的r共有多少个?
题解:
首先,我们需要把问题的条件转换一下:
1.r最多有w/k+1位。
2.r的取值方法相当于组合数(每一位严格小于它右边相邻的那一位相当于组合数)
所以我们可以发现这么一件事:
当我们确定r的第一位为i时,即可确定答案为C(2^k-1-i,w/k)。
而r的第一位最大值为2^(w%k)-1,所以累加就可以得到当r有w/k+1位时的方案数。
显然只要再求得r为2~w/k位时的方案数总和即可求得答案。
那么当r为i位时(i<=w/k),即是2^k-1个数中取i个数,即C(2^k-1,i),累加即可。
两个方案数累加即为答案,注意要用高精度。
#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int n,i,j,c[210],f[520][210],k,w,f1[520][210],ans[210],m,mm;void Plus(int a[],int b[]){ a[0]=max(a[0],b[0]); for(int i=1;i<=a[0];i++){ a[i]+=b[i]; a[i+1]+=a[i]/10; a[i]%=10; } if(a[a[0]+1])a[0]++; while(a[a[0]]>9)a[a[0]+1]+=a[a[0]]/10,a[a[0]]%=10;}int main(){ scanf("%d%d",&k,&w); m=w%k; mm=1<<m; n=1<<k; if(m)mm--; else mm=0; n--; f1[0][0]=f1[0][1]=1; for(i=1;i<=n-mm-1;i++){ memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=f[0][1]=1; for(j=1;j<=i;j++)Plus(f[j],f1[j]),Plus(f[j],f1[j-1]); memcpy(f1,f,sizeof(f)); } for(;i<n;i++){ memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=f[0][1]=1; for(j=1;j<=i;j++)Plus(f[j],f1[j]),Plus(f[j],f1[j-1]); Plus(ans,f[min(n,w/k)]); memcpy(f1,f,sizeof(f)); } memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=f[0][1]=1; Plus(f[1],f1[1]),Plus(f[1],f1[0]); for(j=2;j<=min(w/k,n);j++){ Plus(f[j],f1[j]),Plus(f[j],f1[j-1]); Plus(ans,f[j]); } if(!ans[0])putchar('0'); else for(i=ans[0];i;i--)putchar(ans[i]+'0'); return 0;}
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