并查集（Disjoint Set）

　　在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。

本文地址：http://www.cnblogs.com/archimedes/p/disjoint-set.html，转载请注明源地址。

定义

并查集（Disjoint Set），即“不相交集合”，是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。

常见两种操作：

• 合并两个集合
• 查找某元素属于哪个集合

用编号最小的元素标记所在集合；定义一个数组 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；

算法实现

查找 Θ(1)

find1(x){    return set[x];}

合并 Θ(N)

Merge1(a,b){       i = min(a,b);    j = max(a,b);    for (k = 1; k <= N; k++) {        if (set[k] == j)            set[k] = i;    }}    

对于“合并操作”，必须搜索全部元素！有没有可以改进的地方呢？

算法的优化

使用树结构

每个集合用一棵“有根树”表示，定义数组 set[1..n]

• set[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根
• set[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点. 

查找 最坏情况Θ(N)

find2(x){   r = x;   while (set[r] != r)      r = set[r];   return r;}

合并 Θ(1)

merge2(a, b){    if (a<b)       set[b] = a;    else       set[a] = b;}

性能有无本质的改进？如何避免最坏情况呢？

优化--避免最坏情况

方法：将深度小的树合并到深度大的树

实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2, 则合并后的树的高度h是:

max(h1,h2), if h1<>h2.

h1+1, if h1=h2.

效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过lgk

优化后算法及效率：

查找 Θ(N)

find2(x)    {   r = x;   while (set[r] != r)      r = set[r];   return r;}

合并 Θ(1)

merge3(a,b){     if (height(a) == height(b)) {       height(a) = height(a) + 1;       set[b] = a;     } else if (height(a) < height(b)) {       set[a] = b;    } else {         set[b] = a;     }}

进一步优化--路径压缩

思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快

步骤:

• 第一步，找到根结点
• 第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点

带路径压缩的查找算法：

find3(x){      r = x;      while (set[r]  !=  r) //循环结束，则找到根节点          r = set[r];             i = x;      while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点      {             j = set[i];         set[i] = r;          i = j;      }}

路径压缩示意图:

（HDOJ1232）畅通工程

某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？

#include<iostream>using namespace std;int set[1001];int find(int x){int r = x;while (r != set[r]){r = set[r];}int i = x;while (set[i] != r){int j = set[i];set[i] = r;i = j;}return r;}void merge(int a, int b){int r1 = find(a);int r2 = find(b);if (r1 > r2){set[r1] = r2;//注意这里是将set[r1]=r2;}else{set[r2] = r1;}}int main(){int N, M;//freopen("test.txt", "r", stdin);while (1){cin >> N;if (N == 0)break;cin >> M;for (int i = 1; i <= N; i++)set[i] = i;while (M--){int a, b;cin >> a >> b;merge(a, b);}int res = 0;for (int i = 1; i <= N; i++){if (set[i] == i)res++;}cout << res - 1 << endl;}return 0;}