最大子矩阵和 (DP + 降维处理)
来源:互联网 发布:手机消除人声软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/20 21:22
这个题目是这样的:
一个M*N的矩阵,找到此矩阵的一个子矩阵,并且这个子矩阵的元素的和是最大的,输出这个最大的值。
例如:3*3的矩阵:
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2
和最大的子矩阵是:
3 -1
-1 3
1 2
输入
第1行:M和N,中间用空格隔开(2 <= M,N <= 500)。
第2 - N + 1行:矩阵中的元素,每行M个数,中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)
输出
输出和的最大值。如果所有数都是负数,就输出0。
输入示例
3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2
输出示例
7
我想起科幻小说《三体》中描绘了恢弘壮丽的“降维攻击”的场景:
“歌者”随手抛下了一张“二向箔”,整个银河系的三维空间奔腾汹涌地流入二向箔,塌缩成一个二维平面,三维结构被碾压在二维平面之上。同时,这一降维过程是全息的,所有的三维信息被保留在碾压后的二维空间里。这种致命的攻击令攻击者和被攻击者同归于尽,玉石俱焚,其结局黑暗得令人窒息。
我们知道,在线性空间的最大子段和,已有线性时间的DP算法。有没有可能,把二维的最大矩阵和转化为一维的最大子段和呢?
答案是肯定的,算法有着似三体描述的未来武器般的威力
对于一个子矩阵,有四个属性:起始行位置 i , 结束行位置 j, 起始列 x, 结束列 y
我们可以枚举i, j, 然后对后列进行降维压缩
再对降维后的一维数组进行最大子序列和动态规划就行了
#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;const int SIZE = 500 + 10;int gra[SIZE][SIZE];ll c[SIZE], dp[SIZE];int main() { //freopen("in.txt", "r", stdin); int m, n; scanf("%d%d", &m, &n); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < m; ++j) { scanf("%d", &gra[i][j]); } } ll ans = -INF; for (int i = 0; i < n; ++i) { memset(c, 0, sizeof(c)); for (int j = i; j < n; ++j) { //对i到j行矩阵进行降维操作 for (int k = 0; k < m; ++k) { c[k] += gra[j][k]; } //对降维后的c[k]进行最大子序列和的动态规划 dp[0] = c[0]; if (ans < dp[0]) { ans = dp[0]; } for (int k = 1; k < m; ++k) { dp[k] = max(dp[k - 1] + c[k], c[k]); if (ans < dp[k]) {ans = dp[k];} } } } printf("%lld\n", ans); return 0;}
0 0
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