线段树入门总结

树结构的基本思想是分割，普通二叉搜索树是按照数据来划分(想了解二叉搜索树的请移步：Here)，线段树处理的对象是线段（区间也可以看成线段，L==R时为一个点），它把线段组织成有利于检索和统计的形式，它的本质是线段的二叉搜索树。但是它的线段可以分解和合并，线段树又有一些一般二叉检索树没有的特殊操作。另外线段树操作的是整个区间，它的时间复杂度不依赖于数据对象。它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。
线段树的定义：
线段树是一棵二叉检索树，最终将一个区间 [1,n] 划分为一些 [ i,i+1 ]的但愿区间，每个单元区间对应一个叶节点。叶节点区间只有一个数（L == R）。对于每个线段树的非叶子节点 [ a, b ]，其左儿子 为 [a,(a+b)/2],右儿子为 [ (a+b)/2 + 1,b]。所以线段树是一颗平衡二叉树。最后节点数目为 N 即整段区间的长度，其节点数为 n + n/2 + n/4 + … = 2n。所以其空间复杂度为 O(2n)。
时间复杂度为 log n（插入或者读取均为log n）。其结构如图
线段树的处理对象：
 线段树的处理对象是一段区间，区间上的格点对应有限个区域的变量，处理问题的时候，抽出区间上的格点，也是明确每个格点对应变量的含义。
线段树的基本结构：
一棵线段树，应该具有 插入 ， 修改 ， 查询 三个基本功能。
【代码实现】：
我们以区间最值问题（RMQ）为例：
我们先声明线段树所需的结构体
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#include <stdio.h>  #define MAXN 1<<19  typedef struct  {      int value;      //区间最值      int left,right; //区间范围  }Tree;  Tree node[2*MAXN];  int father[MAXN];   //记录叶子对应结构体的 下标</span>  

如图所示：
如果 二叉树 的 父节点 为 k，那么其 左儿子为 2k，右儿子 为 2k+1。
现在我们可以建立线段树里。
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//线段树的建立  void build(int i, int left, int right){    //i为结构体数组的下标      node[i].left = left;          //为节点成员初始化      node[i].right = right;      node[i].value = 0;      if(left == right){   //当线段树的节点为叶子时，结束递归          father[left] = i;//将叶子在结构体数组的下标记录，以便更新是可以自下而上          return ;      }      //现在分别建立该节点的左右孩子      build(i<<1,left,(left+right)/2);      build( (i<<1)+1,1+(left+right)/2,right);      return ;  }  

因为我们现在是以最值得问题作为样例，所以我们更新数据的话就是单点操作，这里最值我们以最大值为例
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//自上往下的更新,n_i 如上图所意  void Updata(int n_i){      if(n_i == 1) return ;   //找到了根节点，结束递归      int fa = n_i/2;     //找到了父节点      int a = node[2*fa].value;  //该父节点的左儿子的值      int b = node[2*fa + 1].value;//该父节点的右儿子的值      node[fa].value = a>b?a:b;       //更新节点数据      Updata(fa);             //递归更新      return ;  }  

现在我们剩下的就差查询操作了
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int Max = -MAXN;  //k为结构体下标，通常我都从根节点开始查询，所以，通常我们初始化时为1  //查询区间为 [ left, right ]  void Query(int k,int left,int right){      //当查询区间完全重合时      if(node[k].left == left && node[k].right == right){          Max = Max > node[k].value ? Max : node[k].value;          return ;      }      //对左子树进行操作      if(left <= node[2*k].right){  //如果与左区间有交集          if(right <= node[2*k].right)  //如果完全包含于左区间，则查询范围不变              Query(2*k,left,right);          else//否则这将区间查分开，先查询左边的              Query(2*k,left,node[2*k].right);      }      //对右子树进行操作      if(right >= node[2*k+1].left){  //如果与右区间有交集          if(left >= node[2*k+1].left)  //如果完全包含于右区间，则查询范围不变              Query(2*k+1,left,right);          else//否则这将区间查分开，先查询右边的              Query(2*k+1,node[2*k+1].left,right);      }      return ;  }