快速幂取模算法

因为进位对个位不影响，积的取余等于取余的积取余

#include<stdio.h>int PowerMod(int a, int b, int c){    int ans = 1;    int k = a % c;    while(b>0)//(k*k % c)2^b %c    {    if(b % 2 == 1)//如果是奇数    ans = (ans * k) % c;    b = b/2;    k = (k * k) % c;//k是不断代入，以代表每一次降一次幂    }return ans;}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        int n;        scanf("%d",&n);        int ans=PowerMod(n,n,10);        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

1.如果b是偶数，我们可以记k = a² mod c，那么求(k)^b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇数，我们也可以记k = a² mod c，那么求

((k)^b/2 mod c × a ) mod c =((k)^b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

 

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c; //我们取a²而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

 

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^b/2 mod c而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

 

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

 

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

 

if(b % 2 == 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c)

{

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

 

if(b % 2 = = 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

return ans;

}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。