矩阵中从左上角到右下角最短路径（五种方法）

  题目：给定一个n*m的矩阵，矩阵中元素非负，从左上角到右下角找一条路径，使得路径上元素之和最小，每次只能向右或者向下走一个方格。如下图所示：最短路径是图中绿色部分的元素。

  方法一(转换为图中的最短路径)：我们可以把矩阵中的每个方格当做图中的一个顶点，相邻的方格之间有一条边，每个方格最多有两条出边，(当前方格到右侧方格有一条出边，当前方格到下侧方格有一条出边)。我们把矩阵中的最短路径转换为图中的最短路径，使用Dijstra算法来做此题，我们再次使用最简单的Dijstra算法，没有进行优化。图中总共有n*m个点，因为每一次都需要找到一个最小值，找最小值得代价为o(n*m)，总共需要找o(n*m)个最小值，所以时间复杂度为o(n*n*m*m)。
struct Node{int val;int row;int col;Node(){}Node(int v, int r, int c) :val(v), row(r), col(c){}friend bool operator<(const Node &lhs, const Node &rhs);};bool operator<(const Node &lhs, const Node &rhs){return lhs.val > rhs.val;}struct Vertex{int dis;bool visited;Vertex(){}Vertex(int d, bool v) :dis(d), visited(v){}};class Solution {public:    Node findMinVal(vector<vector<Vertex>> ve)    {    Node res = Node(INT_MAX, 0, 0);    for (int i = 0; i < ve.size(); ++i)    {    for (int j = 0; j < ve[0].size(); ++j)    {    if (!ve[i][j].visited && res.val > ve[i][j].dis)    {    res.col = j;    res.row = i;    res.val = ve[i][j].dis;    }    }    }    return res;    }        int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)    {    int sum = 0;    int rows = grid.size();    int cols = grid[0].size();    vector<vector<Vertex>> ve;    ve.resize(rows);    for (int i = 0; i < rows; ++i)    {    ve[i].resize(cols);    for (int j = 0; j < cols; ++j)    {    ve[i][j] = Vertex(INT_MAX, false);    }    }    ve[0][0].dis = grid[0][0];    while (true)    {    Node res = findMinVal(ve);    int row = res.row;    int col = res.col;    sum = res.val;    if (row == rows - 1 && col == cols - 1)    break;    ve[row][col].visited = true;    if (row + 1 < rows && sum + grid[row + 1][col] < ve[row + 1][col].dis)    {    ve[row + 1][col].dis = sum + grid[row + 1][col];    }    if (col + 1 < cols && sum + grid[row][col + 1] < ve[row][col + 1].dis)    {    ve[row][col + 1].dis = sum + grid[row][col + 1];    }    }    return sum;    }};
  方法二(动态规划)：时间复杂为o(n*m)和空间复杂度为o(n*m)。典型的动态规划问题，假设当前已经开始计算s[i][j]，那么s[i][j]只可能从s[i-1][j]+grid[i][j]或者s[i][j-1]+grid[i][j]计算得到，也就是s[i][j] = min(s[i-1][j],s[i][j-1])+grid[i][j]。我们需要一个o(n*m)额外空间保存已经计算的s[i][j]的值，我们只需要访问一遍数组即可。因此时间复杂度为o(n*m)，空间复杂度为o(n*m)。我们需要特殊处理矩阵中第一行和第一列。因为第一行没有s[i-1][j]元素，只有s[i][j-1]元素。第一列没有s[i][j-1]元素，只有s[i-1][j]元素。代码如下：
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid){//当grid为空时，返回0if (grid.empty())return 0;//获取grid的行数和列数int rows = grid.size();int cols = grid[0].size();//额外数组data,大小和grid一样vector<vector<int>> data(rows,vector<int>(cols,grid[0][0]));//处理data第一列for (int i = 1; i < rows; ++i){data[i][0] = data[i - 1][0] + grid[i][0];}//处理data第一行for (int i = 1; i < cols; ++i){data[0][i] = data[0][i - 1] + grid[0][i];}//处理data非第一行和第一列的元素for (int i = 1; i < rows; ++i){for (int j = 1; j < cols; ++j){data[i][j] = min(data[i][j - 1], data[i - 1][j]) + grid[i][j];}}//返回最短路径值return data[rows - 1][cols - 1];}
  方法三(动态规划)：时间复杂度为o(n*m)，空间复杂度为o(m)，此方法需要2*m额外空间。当我们求s[i][j]时，s[i-2]行的元素我们就不再需要，我们只需要s[i-1]行中的元素，我们把s[i-1]行中的元素保存在pre数组中，数组的大小为m。我们把s[i]保存在cur数组中，当s[i]行的元素计算完毕以后，我们交换pre和cur数组。因为需要pre数组和cur数组，且数组的大小都为m，所以我们需要2*m大小的额外空间。
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid){//当grid为空时，返回0if (grid.empty())return 0;//获得grid行数和列数int rows = grid.size();int cols = grid[0].size();//保存s[i-1]行中的元素vector<int> pre(cols, grid[0][0]);//保存当前行的元素vector<int> cur(cols);//初始化prefor (int i = 1; i < cols; ++i){pre[i] = pre[i - 1] + grid[0][i];}//获得s[i][j]for (int i = 1; i < rows; ++i){cur[0] = grid[i][0] + pre[0];for (int j = 1; j < cols; ++j){cur[j] = min(cur[j - 1], pre[j]) + grid[i][j];}swap(cur, pre);}return pre[cols - 1];}
  方法四(动态规划)：时间复杂度为o(n*m)，空间复杂度为o(m)，需要m大小的额外空间，注意此方法和方法三的区别，方法三需要2*m大小的额外空间，此方法只需要m大小的额外空间，在方法三中我们保存当前行s[i]中的元素，假设我们当前计算s[i][j]，我们只需要知道s[i][j-1]的值即可，不需要保存s[i]行中的元素。每次计算s[i][j]时，我们需要更新pre[j]的值。
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid){//当grid为空时，返回0if (grid.empty())return 0;//获得grid行数和列数int rows = grid.size();int cols = grid[0].size();//保存s[i-1]行中的元素vector<int> pre(cols, grid[0][0]);//保存s[i][j-1]中的元素int cur = grid[0][0];//初始化prefor (int i = 1; i < cols; ++i){pre[i] = pre[i - 1] + grid[0][i];}//获得s[i][j]的最小值for (int i = 1; i < rows; ++i){cur = grid[i][0] + pre[0];pre[0] = cur;for (int j = 1; j < cols; ++j){cur = min(cur, pre[j]) + grid[i][j];pre[j] = cur;}}return pre[cols - 1];}
  方法五：上述四种方法都不要改变原矩阵中元素的值，当我们面试的时候，可以问一下面试官是否可以改变原矩阵中的元素，如果可以改变原矩阵中的值，我们可以再次提高一下空间效率，时间复杂度为o(n*m)，空间复杂度为o(1)。每次计算s[i][j]时，我们把grid[i][j]更新为此值，因为再之后的访问过程中不需要再次访问grid[i][j]。
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid){if (grid.empty())return 0;int rows = grid.size();int cols = grid[0].size();for (int i = 1; i < cols; ++i){grid[0][i] = grid[0][i - 1] + grid[0][i];}for (int i = 1; i < rows; ++i){grid[i][0] = grid[i - 1][0] + grid[i][0];}for (int i = 0; i < rows; ++i){for (int j = 0; j < cols; ++j){grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j];}}return grid[rows - 1][cols - 1];}