遍历二叉树

1.  二叉树的遍历

        遍历定义  ——顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点，使得 每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。

        “访问”的含义可以很广，如：输出结点的信息等。 

        遍历用途——查找具有某种特征的结点；对树中全部结点逐一进行某种处理。遍历是二叉树一切运算的基础和核心。

遍历规则

二叉树由根、左子树、右子树构成，定义为D、 L、R 

D、 L、R的组合定义了六种可能的遍历方案：  LDR,   LRD,   DLR,   DRL,   RDL,   RLD 

若限定先左后右，则有三种实现方案：          DLR                    LDR                     LRD 

先 (根)序遍历       中 (根)序遍历        后(根)序遍历  

 注：“先、中、后”的意思是指访问的结点D是先于子树出现还是后于子树出现。

讨论：若已知先序/后序遍历结果和中序遍历结果， 能否“恢复”出二叉树？ 

        例如：已知一棵二叉树的中序序列和后序序列分别是BDCEAFHG 和 DECBHGFA，请画出这棵二叉树。

        分析： 

        ①由后序遍历特征，根结点必在后序序列尾部（即A）； 

        ②由中序遍历特征，根结点必在其中间，而且其左部必全部是左子树子孙（即BDCE），其右部必全部是右子树子孙（即   FHG）； 

        ③继而，根据后序中的DECB子树可确定B为A的左孩子，根据HGF子串可确定F为A的右孩子；以此类推。

例如：

        已知一棵二叉树的前序遍历序列和中序遍历序列分别为ABCDEFGHI 和BCAEDGHFI，如何构造该二叉树呢? 

解题步骤：

二叉树遍历算法的递归实现：

对遍历的分析： 

        1. 从前面的三种遍历算法可以知道：如果将printf语句抹去，从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

       从虚线的出发点到终点的路径 上，每个结点经过3次。

        第1次经过时访问＝先序遍历 

        第2次经过时访问＝中序遍历 

        第3次经过时访问＝后序遍历 

        2. 二叉树遍历的时间效率和空间效率 

        时间效率:O(n) //每个结点只访问一次 

        空间效率:O(n) //栈占用的最大辅助空间 

        （精确值：树深为k的递归遍历需要k+1个辅助单元！最坏情况深度为n，所以空间复杂度为O(n)）

二叉树遍历算法的非递归实现

        算法思路：若不用递归，则要实现二叉树遍历的“嵌套”规则，必用堆栈。

二叉树遍历算法的应用举例

例1  统计二叉树中叶子结点的个数 

思路：输出叶子结点比较简单，用任何一种遍历算法，凡是左右指针均空者，则为叶子，将其统计并打印出来。

二叉树遍历算法的应用举例

例1  统计二叉树中叶子结点的个数 

思路：输出叶子结点比较简单，用任何一种遍历算法，凡是左右指针均空者，则为叶子，将其统计并打印出来。

例3  求二叉树的深度

算法思路：

        只查各结点后继链表指针，若左(右)孩子的左(右)指针非空，则层次数加1；否则函数返回。 

        当T= NULL时,深度为0;

        否则, T的深度= MAX{左子树深度,右子树深度}+1;  

例4  按层次输出二叉树中的所有结点

        算法思路：既然要求从上到下，从左到右，则利用队列存放各子树结点的指针是个好办法，而不必拘泥于递归算法。 

        技巧：当根结点入队后，根据其左右孩子指针域令其左、右孩子结点入队，然后根节点出队; 而之后根结点以外的结点出队时又令它的左右孩子结点入队，……由此便可产生按层次输出的效果。

例5   判断二叉树是否为完全二叉树

        算法思路：完全二叉树的特点是：没有左子树空而右子树单独存在的情况(前k-1层都是满的，且第k层左边也满）。

        技巧: 按层序遍历方式，先把所有结点（不管当前结       点是否有左右孩子）都入队列.若为完全二叉树, 则层序遍历时得到的肯定是一个连续的不包含空指针的序列.如果序列中出现了空指针，则说明不是完全二叉树。 

用二叉链表法（l_child, r_child）存储包含n个结点的 二叉树，结点的指针区域中会有n+1个空指针。