[HDU 3861] The King's Problem （最小路径覆盖）

HDU - 3861

将图分成若干块，满足
1. 相互联通的两个点必须在同一块
2. 同一块中的任意两点，必须能单向可达

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首先先用Tarjan缩点，
然后同一块的实际上必须在一条单向的路径上
然后问题就转化为了dag上不相交的最小路径覆盖

这个问题可以转化为二分图匹配解决
建立一个二分图，原图中任意一个点 u
在二分图中都拆成两个点，X部的u点和 Y部的 u’点
原图中的任意一条边 u->v在二分图中连上 u->v’
然后原图的总点数，减去二分图的最大匹配，即为最小路径覆盖

证明如下：

对于二分图 X部的一个点 u，如果他在 Y部有一个匹配 v’
那么对于原图，则代表了选定这条边 u->v，代表 u点在原图有后继
而没有匹配的点，即没有后继的点都是某条路径的终点，
所以原图中的路径数等于 X部中没有匹配的点数
当二分图最大匹配的时候，没有后继的点数最少
此时就产生了最小路径覆盖

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>#include <map>#include <set>#include <queue>using namespace std;typedef pair<int,int> Pii;typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef double DBL;typedef long double LDBL;#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define CLR(a) MST(a,0)#define Sqr(a) (a*a)const int maxn=5e3+10, maxm=1e5+10;struct Graph{    int V,E;    int edn, *last;    int *u, *v, *nxt;    Graph(int a, int b):V(a),E(b)    {        last=new int[V];        u=new int[E]; v=new int[E]; nxt=new int[E];        init();    }    ~Graph(){delete []last;delete []u;delete []v;delete []nxt;}    void init(){edn=0; memset(last,-1,sizeof(int)*V);}    void adde(int tu, int tv)    {        u[edn] = tu;        v[edn] = tv;        nxt[edn] = last[tu];        last[tu] = edn++;    }    void pri(){for(int i=0; i<edn; i++) printf("%d->%d\n", u[i], v[i]);}};struct Tarjan{    Graph &G;    int dfst, dfsn[maxn], low[maxn];    int scnt, scc[maxn];    int skt, stak[maxn];    bool ins[maxn];    Tarjan(Graph &a):G(a){};    int SCC(int);    int dfs(int);};struct Hungarian{    Graph &G;    int res, match[2*maxn];    bool ins[2*maxn];    Hungarian(Graph &a):G(a){};    int solve(int);    int dfs(int);};int N,M;Graph graph(maxn,maxm), div_g(2*maxn,maxm);Tarjan tarjan(graph);Hungarian hug(div_g);int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt", "r", stdin);//  freopen("out.txt", "w", stdout);    #endif    int T;    scanf("%d", &T);    for(int ck=1; ck<=T; ck++)    {        graph.init();        div_g.init();        scanf("%d%d", &N, &M);        for(int i=0; i<M; i++)        {            int u,v;            scanf("%d%d", &u, &v);            graph.adde(u,v);        }        N = tarjan.SCC(N);        for(int i=0; i<graph.edn; i++)        {            int u=graph.u[i], v=graph.v[i];            div_g.adde(u,v+N);        }//      div_g.pri();        int mcnt = hug.solve(2*N);        printf("%d\n", N-mcnt);    }    return 0;}int Tarjan::SCC(int n){    dfst=0; CLR(dfsn); CLR(low);    scnt=0; CLR(scc);    skt=0; CLR(ins);    for(int i=1; i<=n; i++) if(!dfsn[i]) dfs(i);    int tot=G.edn;    G.init();    for(int e=0; e<tot; e++)    {        int u=G.u[e], v=G.v[e];        if(scc[u] == scc[v]) continue;        G.adde(scc[u],scc[v]);    }    return scnt;}int Tarjan::dfs(int u){    dfsn[u] = low[u] = ++dfst;    stak[++skt] = u;    ins[u] = 1;    for(int e=G.last[u]; ~e; e=G.nxt[e])    {        int v = G.v[e];        if(!dfsn[v])        {            dfs(v);            low[u] = min(low[u], low[v]);        }        else if(ins[v]) low[u] = min(low[u], low[v]);    }    if(low[u] == dfsn[u])    {        scnt++;        while(skt)        {            ins[ stak[skt] ] = 0;            scc[ stak[skt] ] = scnt;            skt--;            if(stak[skt+1] == u) break;        }    }    return 0;}int Hungarian::solve(int n){    res=0;    CLR(match);    for(int i=1; i<=n; i++)    {        if(!match[i])        {            CLR(ins);            if(dfs(i)) res++;        }    }    return res;}int Hungarian::dfs(int u){    for(int e=G.last[u]; ~e; e=G.nxt[e])    {        int v=G.v[e];        if(ins[v]) continue;        ins[v]=1;        if(!match[v] || dfs(match[v]))        {            match[v]=u;            match[u]=v;            return 1;        }    }    return 0;}