3动态规划

此次专题主要讲解动态规划，题目大致分为两类 一种是递归来解决，一种是0/1背包问题。

动态规划就是把一个问题分成多个阶段来解决，并且每个阶段都相互有所联系。其遵循最优性原理。

1，不论初始状态和第一步决策是什么，余下的决策相对于前一次决策所产生的新状态，构成一个最优决策序列。

2，最优决策序列的子序列，一定是局部最优决策子序列。

3，包含有非局部最优的决策子序列，一定不是最优决策序列。

根据老师课件可以总结为解题步骤：

1，把问题分为若干个子问题就是分为若干个阶段

2，建立状态转移方程，一般是递推公式

3，找出边界条件

4，将边界值代入方程

5，递推求解

一，递归问题。

有一楼梯共M级，刚开始时你在第一级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第M级，共有多少种走法？

这是一道简单的递归问题，没上一个台阶看做阶段，从第三层就能找出规律，他的状态转移方程为f(n) = f(n-1)+f(n-2)

之后将边界值带入就能求解。

二，求最长序列问题。

求公共最长子序列的题，首先要区别子序列与字串。子序列是可以不连续的，而字串一定是连续的。

我一般的做法就是建立动态规划数组dp[i][j]代表当比较到两个字符串的尽头时的最大公共子序列就是dp[i][j]

如图：

状态转移方程为：dp[i][j] = most(dp[i-1][j],dp[i][j],dp[i][j-1])分别是一串与二串之前有相同字符，同位有相同字符，之后有相同字符，取最大值。

三，0/1背包问题

典型题目：给你物品数目以及背包的容量，下面是各个物品的价值以及容量，让你求背包能装入的最大价值

状态转移方程：dp[i][j] = most(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i])+v[i]);

w[i]即第i件物品的重量 v[i]第i件物品的价值dp[i][j]把前i件物品装入j容量的背包中所能获得的最大价值。

对每件物品就有两种选择，放或者不放，取其最大值，如果放这件物品则为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，前i-1件物品放入j-w[i]的容量中所能获得的最大价值，如果不放就是dp[i-1][j]。

完全背包问题，在0/1背包问题的基础上，每种物品不单单是一件了，而是多件。

1） 子问题定义：F[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

        2） 根据第i种物品放多少件进行决策

  dp[i][j] = max(f[i-1][j-k*w[i]) + k*v[i],f[i-1][j]) 0<=k*w[i]<=j 就是比0/1背包问题多加了一层每种物品数量的循环

还有分组背包问题，把物品分成若干组，在每一组中求最优。