神奇的线性筛法

关于线筛

所谓线性筛法，顾名思义它是线性的筛素数的方法，所以是O(N)的

神奇的东西

int getprime(int lim){    int i,j,num=0;    fo(i,2,lim)     {        if (!bz[i])        {            prime[++num]=i;            for(j=1;i*j<=lim;j++) bz[i*prime[j]]=1;        }       }}

这是普通筛法

int getprime(int lim){    int i,j,num=0;    fo(i,2,lim)     {        if (!bz[i]) prime[++num]=i;        for(j=1;i*prime[j]<=lim&&j<=num;j++)        {            bz[i*prime[j]]=1;            if (!(i%prime[j])) break;        }     }}

这是线性筛法

实测

某神犇已经测过，我直接上结果

• 筛 [0, 100000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 0 毫秒
  第二种素数筛法 0 毫秒

• 筛 [0, 200000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 15 毫秒
  第二种素数筛法 0 毫秒

• 筛 [0, 400000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 16 毫秒
  第二种素数筛法 15 毫秒

• 筛 [0, 800000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 47 毫秒
  第二种素数筛法 16 毫秒

• 筛 [0, 1600000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 62 毫秒
  第二种素数筛法 63 毫秒

• 筛 [0, 3200000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 297 毫秒
  第二种素数筛法 109 毫秒

• 筛 [0, 6400000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 922 毫秒
  第二种素数筛法 266 毫秒

• 筛 [0, 12800000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 2187 毫秒
  第二种素数筛法 563 毫秒

• 筛 [0, 25600000) 范围内的素数
  第一种素数筛法 4828 毫秒
  第二种素数筛法 1187 毫秒

为什么是线性的呢？

回到程序

可以发现，普通筛法将每个质数的倍数都筛掉，每个合数都被筛了它的质因子次
That’s too slow!!

我们再看线性筛法
筛的时候，把当前到的这一个数（不论质数合数）乘上筛出来的每个质数筛一遍

关键是这一句

if (!(i%prime[j])) break;

这样的情况，意思是prime[j]这一个质数在prime[j]×i中指数已经大于等于2了。

并且，这个合数的任何倍数以后一定会被prime[j]筛到
所以后面的都不必筛了。

这样，每个合数都只被它的最小的质因子筛过一遍，所以是线性的复杂度。