线性筛法 与 线性求欧拉函数 的计算模板

简介

• 懂得如何快速计算质数是十分重要的

• 在筛法的基础上，我们可以使用更为高级的线性筛法！

• 顾名思义，就是时间复杂度是线性的，即 O(N) ，N 为所求的质数范围

• 而对编程有所接触的人，应该都知道欧拉函数 即 φ(N)

• 听起来高大上，其实就表示 小于等于 N 的数中与 N 互质的数的数目

• 这在竞赛中用处很大，变式也很多—— ~不明觉厉~

• 那么如何在 线性时间 内求出 1—N 中的 质数表 和 欧拉函数表 呢？

• 下面给出两个算法的模板——

线性筛法

• 这个算法的本质就是在筛法的基础上，加上一个不再重复筛的退出语句

• 模板如下：

for(int i=2;i<=N;i++){    if(!bz[i]) f[++f[0]]=i;    for(int j=1;j<=f[0] && i*f[j]<=N;j++)    {        bz[i*f[j]]=true;        if(i%f[j]==0) break;//极大优化！    }}

• 注释：标志数组为 bz[N] ， 质数表为 f[N] 。

线性求欧拉函数

• 这个算法的本质就是在筛法的基础上，根据欧拉函数的积性性质来处理

• 模板如下：

for(int i=2;i<=N;i++){    if(!bz[i]) phi[f[++f[0]]=i]=i-1;    for(int j=1;j<=f[0] && i*f[j]<=N;j++)    {        bz[i*f[j]]=true;        if(i%f[j]==0)//同样的极大优化！        {            phi[i*f[j]]=phi[i]*f[j];            break;        }else phi[i*f[j]]=phi[i]*(f[j]-1);//欧拉函数的积性性质    }}

• 注释：标志数组为 bz[N] ， 质数表为 f[N] ， 欧拉函数表为 phi[N] 。

总结

• 这两个算法有两个优点：

  1. 短小精悍

  2. 复杂度线性，O(N) 处理

• 所以在以后的学习中，应熟练掌握这两种算法！